Question

1135. 最低成本连通所有城市

English Version

题目描述

想象一下你是个城市基建规划者，地图上有 n 座城市，它们按以 1 到 n 的次序编号。

给你整数 n 和一个数组 conections，其中 connections[i] = [xi, yi, costi] 表示将城市 xi 和城市 yi 连接所要的costi（连接是双向的）。

返回连接所有城市的最低成本，每对城市之间至少有一条路径。如果无法连接所有 n 个城市，返回 -1

该 最小成本 应该是所用全部连接成本的总和。

 

示例 1：

输入：n = 3, conections = [[1,2,5],[1,3,6],[2,3,1]]
输出：6
解释：选出任意 2 条边都可以连接所有城市，我们从中选取成本最小的 2 条。

示例 2：

输入：n = 4, conections = [[1,2,3],[3,4,4]]
输出：-1
解释：即使连通所有的边，也无法连接所有城市。

 

提示：

• 1 <= n <= 104
• 1 <= connections.length <= 104
• connections[i].length == 3
• 1 <= xi, yi <= n
• xi != yi
• 0 <= costi <= 105

解法

方法一：Kruskal 算法

Kruskal 算法是一种贪心算法，用于计算最小生成树。

Kruskal 算法的基本思想是，每次从边集中选择一条最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到最小生成树中，否则舍弃这条边。

对于本题，我们可以将边按照连通成本从小到大排序，用并查集维护连通分量，每次选择一条最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则合并这两个顶点，然后累加连通成本。如果出现连通份量为 $1$ 的情况，则说明所有顶点都连通了，返回累加的连通成本，否则返回 $-1$。

时间复杂度 $O(m \times \log m)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为边数和顶点数。

class Solution:
  def minimumCost(self, n: int, connections: List[List[int]]) -> int:
    def find(x):
      if p[x] != x:
        p[x] = find(p[x])
      return p[x]

    connections.sort(key=lambda x: x[2])
    p = list(range(n))
    ans = 0
    for x, y, cost in connections:
      x, y = x - 1, y - 1
      if find(x) == find(y):
        continue
      p[find(x)] = find(y)
      ans += cost
      n -= 1
      if n == 1:
        return ans
    return -1

class Solution {
  private int[] p;

  public int minimumCost(int n, int[][] connections) {
    Arrays.sort(connections, Comparator.comparingInt(a -> a[2]));
    p = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      p[i] = i;
    }
    int ans = 0;
    for (int[] e : connections) {
      int x = e[0] - 1, y = e[1] - 1, cost = e[2];
      if (find(x) == find(y)) {
        continue;
      }
      p[find(x)] = find(y);
      ans += cost;
      if (--n == 1) {
        return ans;
      }
    }
    return -1;
  }

  private int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
      p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumCost(int n, vector<vector<int>>& connections) {
    vector<int> p(n);
    iota(p.begin(), p.end(), 0);
    sort(connections.begin(), connections.end(), [](auto& a, auto& b) { return a[2] < b[2]; });
    int ans = 0;
    function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
      if (p[x] != x) {
        p[x] = find(p[x]);
      }
      return p[x];
    };
    for (auto& e : connections) {
      int x = e[0] - 1, y = e[1] - 1, cost = e[2];
      if (find(x) == find(y)) {
        continue;
      }
      p[find(x)] = find(y);
      ans += cost;
      if (--n == 1) {
        return ans;
      }
    }
    return -1;
  }
};

func minimumCost(n int, connections [][]int) (ans int) {
  p := make([]int, n)
  for i := range p {
    p[i] = i
  }
  sort.Slice(connections, func(i, j int) bool { return connections[i][2] < connections[j][2] })
  var find func(int) int
  find = func(x int) int {
    if p[x] != x {
      p[x] = find(p[x])
    }
    return p[x]
  }
  for _, e := range connections {
    x, y, cost := e[0]-1, e[1]-1, e[2]
    if find(x) == find(y) {
      continue
    }
    p[find(x)] = find(y)
    ans += cost
    n--
    if n == 1 {
      return
    }
  }
  return -1
}

function minimumCost(n: number, connections: number[][]): number {
  const p = new Array(n);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    p[i] = i;
  }
  const find = (x: number): number => {
    if (p[x] !== x) {
      p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
  };
  connections.sort((a, b) => a[2] - b[2]);
  let ans = 0;
  for (const [x, y, cost] of connections) {
    if (find(x - 1) == find(y - 1)) {
      continue;
    }
    p[find(x - 1)] = find(y - 1);
    ans += cost;
    if (--n == 1) {
      return ans;
    }
  }
  return -1;
}