Question

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

为了能在讲解算法时轻松一些，我们先讲一个平衡二叉树构建过程的例子。假设我们现在有一个数组a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}需要构建二叉排序树。在没有学习平衡二叉树之前，根据二叉排序树的特性，我们通常会将它构建成如图8-7-4的图1所示的样子。虽然它完全符合二叉排序树的定义，但是对这样高度达到8的二叉树来说，查找是非常不利的。我们更期望能构建成如图8-7-4的图2的样子，高度为4的二叉排序树才可以提供高效的查找效率。那么现在我们就来研究如何将一个数组构建出图2的树结构。

图8-7-4

对于数组a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}的前两位3和2，我们很正常地构建，到了第3个数“1”时，发现此时根结点“3”的平衡因子变成了2，此时整棵树都成了最小不平衡子树，因此需要调整，如图8-7-5的图1（结点左上角数字为平衡因子BF值）。因为BF值为正，因此我们将整个树进行右旋（顺时针旋转），此时结点2成了根结点，3成了2的右孩子，这样三个结点的BF值均为0，非常的平衡，如图8-7-5的图2所示。

图8-7-5

然后我们再增加结点4，平衡因子没有超出限定范围（-1，0，1），如图3。增加结点5时，结点3的BF值为-2，说明要旋转了。由于BF是负值，所以我们对这棵最小平衡子树进行左旋（逆时针旋转），如图4，此时我们整个树又达到了平衡。

继续，增加结点6时，发现根结点2的BF值变成了-2，如图8-7-6的图6。所以我们对根结点进行了左旋，注意此时本来结点3是4的左孩子，由于旋转后需要满足二叉排序树特性，因此它成了结点2的右孩子，如图7。增加结点7，同样的左旋转，使得整棵树达到平衡，如图8和图9所示。

图8-7-6

当增加结点10时，结构无变化，如图8-7-7的图10。再增加结点9，此时结点7的BF变成了-2，理论上我们只需要旋转最小不平衡子树7、9、10即可，但是如果左旋转后，结点9就成了10的右孩子，这是不符合二叉排序树的特性的，此时不能简单的左旋，如图11所示。

图8-7-7

仔细观察图11，发现根本原因在于结点7的BF是-2，而结点10的BF是1，也就是说，它们俩一正一负，符号并不统一，而前面的几次旋转，无论左还是右旋，最小不平衡子树的根结点与它的子结点符号都是相同的。这就是不能直接旋转的关键。那怎么办呢？

不统一，不统一就把它们先转到符号统一再说，于是我们先对结点9和结点10进行右旋，使得结点10成了9的右子树，结点9的BF为-1，此时就与结点7的BF值符号统一了，如图8-7-7的图12所示。

这样我们再以结点7为最小不平衡子树进行左旋，得到图8-7-8的图13。接着插入8，情况与刚才类似，结点6的BF是-2，而它的右孩子9的BF是1，如图14，因此首先以9为根结点，进行右旋，得到图15，此时结点6和结点7的符号都是负，再以6为根结点左旋，最终得到最后的平衡二叉树，如图8-7-8的图16所示。

图8-7-8

西方有一句民谣是这样说的：“丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。”相信大家应该有点明白，所谓的平衡二叉树，其实就是在二叉排序树创建过程中保证它的平衡性，一旦发现有不平衡的情况，马上处理，这样就不会造成不可收拾的情况出现。通过刚才这个例子，你会发现，当最小不平衡子树根结点的平衡因子BF是大于1时，就右旋，小于-1时就左旋，如上例中结点1、5、6、7的插入等。插入结点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要对结点先进行一次旋转以使得符号相同后，再反向旋转一次才能够完成平衡操作，如上例中结点9、8的插入时。