Question

2836. 在传球游戏中最大化函数值

English Version

题目描述

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 receiver 和一个整数 k 。

总共有 n 名玩家，玩家 编号 互不相同，且为 [0, n - 1] 中的整数。这些玩家玩一个传球游戏，receiver[i] 表示编号为 i 的玩家会传球给编号为 receiver[i] 的玩家。玩家可以传球给自己，也就是说 receiver[i] 可能等于 i 。

你需要从 n 名玩家中选择一名玩家作为游戏开始时唯一手中有球的玩家，球会被传 恰好 k 次。

如果选择编号为 x 的玩家作为开始玩家，定义函数 f(x) 表示从编号为 x 的玩家开始，k 次传球内所有接触过球玩家的编号之 和 ，如果有玩家多次触球，则 累加多次 。换句话说， f(x) = x + receiver[x] + receiver[receiver[x]] + ... + receiver(k)[x] 。

你的任务时选择开始玩家 x ，目的是 最大化 f(x) 。

请你返回函数的 最大值 。

注意：receiver 可能含有重复元素。

 

示例 1：

传递次数	传球者编号	接球者编号	x + 所有接球者编号
			2
1	2	1	3
2	1	0	3
3	0	2	5
4	2	1	6

 

输入：receiver = [2,0,1], k = 4
输出：6
解释：上表展示了从编号为 x = 2 开始的游戏过程。
从表中可知，f(2) 等于 6 。
6 是能得到最大的函数值。
所以输出为 6 。

示例 2：

传递次数	传球者编号	接球者编号	x + 所有接球者编号
			4
1	4	3	7
2	3	2	9
3	2	1	10

 

输入：receiver = [1,1,1,2,3], k = 3
输出：10
解释：上表展示了从编号为 x = 4 开始的游戏过程。
从表中可知，f(4) 等于 10 。
10 是能得到最大的函数值。
所以输出为 10 。

 

提示：

• 1 <= receiver.length == n <= 105
• 0 <= receiver[i] <= n - 1
• 1 <= k <= 1010

解法

方法一：动态规划 + 倍增

题目要我们寻找从每个玩家 $i$ 开始，传球 $k$ 次内所有接触过球玩家的编号之和的最大值。如果暴力求解，需要从 $i$ 开始向上遍历 $k$ 次，时间复杂度为 $O(k)$，显然会超时。

我们可以使用动态规划，结合倍增的思想来处理。

我们定义 $f[i][j]$ 表示从玩家 $i$ 开始，传球 $2^j$ 次所能到达的玩家编号，定义 $g[i][j]$ 表示从玩家 $i$ 开始，传球 $2^j$ 次所能到达的玩家编号之和（不包括最后一个玩家）。

当 $j=0$ 是，传球次数为 $1$，所以 $f[i][0] = receiver[i]$，而 $g[i][0] = i$。

当 $j \gt 0$ 时，传球次数为 $2^j$，相当于从玩家 $i$ 开始，传球 $2^{j-1}$ 次，再从玩家 $f[i][j-1]$ 开始，传球 $2^{j-1}$ 次，所以 $f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1]$，而 $g[i][j] = g[i][j-1] + g[f[i][j-1]][j-1]$。

接下来，我们可以枚举每个玩家 $i$ 作为开始玩家，然后根据 $k$ 的二进制表示，累计向上查询，最终得到玩家 $i$ 开始，传球 $k$ 次内所有接触过球玩家的编号之和的最大值。

时间复杂度 $O(n \times \log k)$，空间复杂度 $O(n \times \log k)$。其中 $n$ 为玩家数。

相似题目：

• 1483. 树节点的第 K 个祖先

class Solution:
  def getMaxFunctionValue(self, receiver: List[int], k: int) -> int:
    n, m = len(receiver), k.bit_length()
    f = [[0] * m for _ in range(n)]
    g = [[0] * m for _ in range(n)]
    for i, x in enumerate(receiver):
      f[i][0] = x
      g[i][0] = i
    for j in range(1, m):
      for i in range(n):
        f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1]
        g[i][j] = g[i][j - 1] + g[f[i][j - 1]][j - 1]
    ans = 0
    for i in range(n):
      p, t = i, 0
      for j in range(m):
        if k >> j & 1:
          t += g[p][j]
          p = f[p][j]
      ans = max(ans, t + p)
    return ans

class Solution {
  public long getMaxFunctionValue(List<Integer> receiver, long k) {
    int n = receiver.size(), m = 64 - Long.numberOfLeadingZeros(k);
    int[][] f = new int[n][m];
    long[][] g = new long[n][m];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      f[i][0] = receiver.get(i);
      g[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j < m; ++j) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
        g[i][j] = g[i][j - 1] + g[f[i][j - 1]][j - 1];
      }
    }
    long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int p = i;
      long t = 0;
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        if ((k >> j & 1) == 1) {
          t += g[p][j];
          p = f[p][j];
        }
      }
      ans = Math.max(ans, p + t);
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  long long getMaxFunctionValue(vector<int>& receiver, long long k) {
    int n = receiver.size(), m = 64 - __builtin_clzll(k);
    int f[n][m];
    long long g[n][m];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      f[i][0] = receiver[i];
      g[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j < m; ++j) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
        g[i][j] = g[i][j - 1] + g[f[i][j - 1]][j - 1];
      }
    }
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int p = i;
      long long t = 0;
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        if (k >> j & 1) {
          t += g[p][j];
          p = f[p][j];
        }
      }
      ans = max(ans, p + t);
    }
    return ans;
  }
};

func getMaxFunctionValue(receiver []int, k int64) (ans int64) {
  n, m := len(receiver), bits.Len(uint(k))
  f := make([][]int, n)
  g := make([][]int64, n)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, m)
    g[i] = make([]int64, m)
    f[i][0] = receiver[i]
    g[i][0] = int64(i)
  }
  for j := 1; j < m; j++ {
    for i := 0; i < n; i++ {
      f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1]
      g[i][j] = g[i][j-1] + g[f[i][j-1]][j-1]
    }
  }
  for i := 0; i < n; i++ {
    p := i
    t := int64(0)
    for j := 0; j < m; j++ {
      if k>>j&1 == 1 {
        t += g[p][j]
        p = f[p][j]
      }
    }
    ans = max(ans, t+int64(p))
  }
  return
}