Question

2208. 将数组和减半的最少操作次数

English Version

题目描述

给你一个正整数数组 nums 。每一次操作中，你可以从 nums 中选择 任意 一个数并将它减小到 恰好 一半。（注意，在后续操作中你可以对减半过的数继续执行操作）

请你返回将 nums 数组和 至少 减少一半的 最少 操作数。

 

示例 1：

输入：nums = [5,19,8,1]
输出：3
解释：初始 nums 的和为 5 + 19 + 8 + 1 = 33 。
以下是将数组和减少至少一半的一种方法：
选择数字 19 并减小为 9.5 。
选择数字 9.5 并减小为 4.75 。
选择数字 8 并减小为 4 。
最终数组为 [5, 4.75, 4, 1] ，和为 5 + 4.75 + 4 + 1 = 14.75 。
nums 的和减小了 33 - 14.75 = 18.25 ，减小的部分超过了初始数组和的一半，18.25 >= 33/2 = 16.5 。
我们需要 3 个操作实现题目要求，所以返回 3 。
可以证明，无法通过少于 3 个操作使数组和减少至少一半。

示例 2：

输入：nums = [3,8,20]
输出：3
解释：初始 nums 的和为 3 + 8 + 20 = 31 。
以下是将数组和减少至少一半的一种方法：
选择数字 20 并减小为 10 。
选择数字 10 并减小为 5 。
选择数字 3 并减小为 1.5 。
最终数组为 [1.5, 8, 5] ，和为 1.5 + 8 + 5 = 14.5 。
nums 的和减小了 31 - 14.5 = 16.5 ，减小的部分超过了初始数组和的一半， 16.5 >= 31/2 = 15.5 。
我们需要 3 个操作实现题目要求，所以返回 3 。
可以证明，无法通过少于 3 个操作使数组和减少至少一半。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 107

解法

方法一：贪心 + 优先队列（大根堆）

根据题目描述，每一次操作，都会将数组中的一个数减半。要使得数组和至少减少一半的操作次数最少，那么每一次操作都应该选择当前数组中的最大值进行减半。

因此，我们先算出数组要减少的总和 $s$，然后用一个优先队列（大根堆）维护数组中的所有数，每次从优先队列中取出最大值 $t$，将其减半，然后将减半后的数重新放入优先队列中，同时更新 $s$，直到 $s \le 0$ 为止。那么此时的操作次数就是答案。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组的长度。

class Solution:
  def halveArray(self, nums: List[int]) -> int:
    s = sum(nums) / 2
    h = []
    for v in nums:
      heappush(h, -v)
    ans = 0
    while s > 0:
      t = -heappop(h) / 2
      s -= t
      heappush(h, -t)
      ans += 1
    return ans

class Solution {
  public int halveArray(int[] nums) {
    double s = 0;
    PriorityQueue<Double> q = new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());
    for (int v : nums) {
      q.offer(v * 1.0);
      s += v;
    }
    s /= 2.0;
    int ans = 0;
    while (s > 0) {
      double t = q.poll();
      s -= t / 2.0;
      q.offer(t / 2.0);
      ++ans;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int halveArray(vector<int>& nums) {
    priority_queue<double> q;
    double s = 0;
    for (int& v : nums) {
      s += v;
      q.push(v);
    }
    s /= 2.0;
    int ans = 0;
    while (s > 0) {
      double t = q.top() / 2;
      q.pop();
      s -= t;
      q.push(t);
      ++ans;
    }
    return ans;
  }
};

func halveArray(nums []int) (ans int) {
  var s float64
  q := hp{}
  for _, x := range nums {
    s += float64(x)
    heap.Push(&q, float64(x))
  }
  s /= 2
  for s > 0 {
    x := heap.Pop(&q).(float64)
    ans++
    s -= x / 2
    heap.Push(&q, x/2)
  }
  return
}

type hp struct{ sort.Float64Slice }

func (h hp) Less(i, j int) bool { return h.Float64Slice[i] > h.Float64Slice[j] }
func (h *hp) Push(v any)    { h.Float64Slice = append(h.Float64Slice, v.(float64)) }
func (h *hp) Pop() any {
  a := h.Float64Slice
  v := a[len(a)-1]
  h.Float64Slice = a[:len(a)-1]
  return v
}

function halveArray(nums: number[]): number {
  let s: number = nums.reduce((a, b) => a + b) / 2;
  const h = new MaxPriorityQueue();
  for (const v of nums) {
    h.enqueue(v, v);
  }
  let ans: number = 0;
  while (s > 0) {
    let { element: t } = h.dequeue();
    t /= 2;
    s -= t;
    h.enqueue(t, t);
    ans += 1;
  }
  return ans;
}

方法二

func halveArray(nums []int) (ans int) {
  half := 0
  for i := range nums {
    nums[i] <<= 20
    half += nums[i]
  }
  h := hp{nums}
  heap.Init(&h)
  for half >>= 1; half > 0; ans++ {
    half -= h.IntSlice[0] >> 1
    h.IntSlice[0] >>= 1
    heap.Fix(&h, 0)
  }
  return
}

type hp struct{ sort.IntSlice }

func (h hp) Less(i, j int) bool { return h.IntSlice[i] > h.IntSlice[j] }
func (hp) Push(any)       {}
func (hp) Pop() (_ any)     { return }