Question

446. 等差数列划分 II - 子序列

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

• 例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
• 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

• 例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,_2_,4,1,_5_,_10_] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

 

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。

 

提示：

• 1  <= nums.length <= 1000
• -231 <= nums[i] <= 231 - 1

解法

方法一：动态规划 + 哈希表

我们定义 $f[i][d]$ 表示以 $nums[i]$ 为结尾，公差为 $d$ 的弱等差子序列（最少有两个元素）的个数。由于 $d$ 的范围很大，所以我们使用哈希表来统计。

接下来，我们枚举 $nums$ 中的所有元素对 $(nums[i], nums[j])$，其中 $j \lt i$。我们将其作为等差数列的最后两个元素，由此即可得到公差 $d = nums[i] - nums[j]$。由于公差相同，我们可以将 $nums[i]$ 加到以 $nums[j]$ 为结尾的弱等差子序列的末尾，此时以 $nums[i]$ 为结尾的等差子序列的数量为 $f[j][d]$，我们将其加入答案。然后，我们再将 $nums[i]$ 加到以 $nums[j]$ 为结尾的弱等差子序列的末尾，这对应着状态转移 $f[i][d] += f[j][d]$。同时，$(nums[i], nums[j])$ 这一对元素也可以当作一个弱等差子序列，因此有状态转移 $f[i][d] += f[j][d] + 1$。

枚举结束，返回答案即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def numberOfArithmeticSlices(self, nums: List[int]) -> int:
    f = [defaultdict(int) for _ in nums]
    ans = 0
    for i, x in enumerate(nums):
      for j, y in enumerate(nums[:i]):
        d = x - y
        ans += f[j][d]
        f[i][d] += f[j][d] + 1
    return ans

class Solution {
  public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    Map<Long, Integer>[] f = new Map[n];
    Arrays.setAll(f, k -> new HashMap<>());
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        Long d = 1L * nums[i] - nums[j];
        int cnt = f[j].getOrDefault(d, 0);
        ans += cnt;
        f[i].merge(d, cnt + 1, Integer::sum);
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    unordered_map<long long, int> f[n];
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        long long d = 1LL * nums[i] - nums[j];
        int cnt = f[j][d];
        ans += cnt;
        f[i][d] += cnt + 1;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func numberOfArithmeticSlices(nums []int) (ans int) {
  f := make([]map[int]int, len(nums))
  for i := range f {
    f[i] = map[int]int{}
  }
  for i, x := range nums {
    for j, y := range nums[:i] {
      d := x - y
      cnt := f[j][d]
      ans += cnt
      f[i][d] += cnt + 1
    }
  }
  return
}

function numberOfArithmeticSlices(nums: number[]): number {
  const n = nums.length;
  const f: Map<number, number>[] = new Array(n).fill(0).map(() => new Map());
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    for (let j = 0; j < i; ++j) {
      const d = nums[i] - nums[j];
      const cnt = f[j].get(d) || 0;
      ans += cnt;
      f[i].set(d, (f[i].get(d) || 0) + cnt + 1);
    }
  }
  return ans;
}