Question

1866. 恰有 K 根木棍可以看到的排列数目

English Version

题目描述

有 n 根长度互不相同的木棍，长度为从 1 到 n 的整数。请你将这些木棍排成一排，并满足从左侧 可以看到 恰好 k 根木棍。从左侧 可以看到 木棍的前提是这个木棍的 左侧 不存在比它 更长的 木棍。

• 例如，如果木棍排列为 [_1_,_3_,2,_5_,4] ，那么从左侧可以看到的就是长度分别为 1、3 、5 的木棍。

给你 n 和 k ，返回符合题目要求的排列 数目 。由于答案可能很大，请返回对 109 + 7 取余 的结果。

 

示例 1：

输入：n = 3, k = 2
输出：3
解释：[_1_,_3_,2], [_2_,_3_,1] 和 [_2_,1,_3_] 是仅有的能满足恰好 2 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。

示例 2：

输入：n = 5, k = 5
输出：1
解释：[_1_,_2_,_3_,_4_,_5_] 是唯一一种能满足全部 5 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。

示例 3：

输入：n = 20, k = 11
输出：647427950
解释：总共有 647427950 (mod 109 + 7) 种能满足恰好有 11 根木棍可以看到的排列。

 

提示：

• 1 <= n <= 1000
• 1 <= k <= n

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示长度为 $i$ 的排列中，恰有 $j$ 根木棍可以看到的排列数目。初始时 $f[0][0]=1$，其余 $f[i][j]=0$。答案为 $f[n][k]$。

考虑最后一根木棍是否可以看到，如果可以看到，那么它一定是最长的，那么它的前面有 $i - 1$ 根木棍，恰有 $j - 1$ 根木棍可以看到，即 $f[i - 1][j - 1]$；如果最后一根木棍不可以看到，那么它可以是除了最长的木棍之外的任意一根，那么它的前面有 $i - 1$ 根木棍，恰有 $j$ 根木棍可以看到，即 $f[i - 1][j] \times (i - 1)$。

因此，状态转移方程为：

$$ f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j] \times (i - 1) $$

最终答案为 $f[n][k]$。

我们注意到 $f[i][j]$ 只跟 $f[i - 1][j - 1]$ 和 $f[i - 1][j]$ 有关，因此可以使用一维数组优化空间复杂度。

时间复杂度 $O(n \times k)$，空间复杂度 $O(k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别是题目中给定的两个整数。

class Solution:
  def rearrangeSticks(self, n: int, k: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    f = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
      for j in range(1, k + 1):
        f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j] * (i - 1)) % mod
    return f[n][k]

class Solution {
  public int rearrangeSticks(int n, int k) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    int[][] f = new int[n + 1][k + 1];
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        f[i][j] = (int) ((f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j] * (long) (i - 1)) % mod);
      }
    }
    return f[n][k];
  }
}

class Solution {
public:
  int rearrangeSticks(int n, int k) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    int f[n + 1][k + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + (i - 1LL) * f[i - 1][j]) % mod;
      }
    }
    return f[n][k];
  }
};

func rearrangeSticks(n int, k int) int {
  const mod = 1e9 + 7
  f := make([][]int, n+1)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, k+1)
  }
  f[0][0] = 1
  for i := 1; i <= n; i++ {
    for j := 1; j <= k; j++ {
      f[i][j] = (f[i-1][j-1] + (i-1)*f[i-1][j]) % mod
    }
  }
  return f[n][k]
}

function rearrangeSticks(n: number, k: number): number {
  const mod = 10 ** 9 + 7;
  const f: number[][] = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
    Array.from({ length: k + 1 }, () => 0),
  );
  f[0][0] = 1;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    for (let j = 1; j <= k; ++j) {
      f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + (i - 1) * f[i - 1][j]) % mod;
    }
  }
  return f[n][k];
}

方法二

class Solution:
  def rearrangeSticks(self, n: int, k: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    f = [1] + [0] * k
    for i in range(1, n + 1):
      for j in range(k, 0, -1):
        f[j] = (f[j] * (i - 1) + f[j - 1]) % mod
      f[0] = 0
    return f[k]

class Solution {
  public int rearrangeSticks(int n, int k) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    int[] f = new int[k + 1];
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = k; j > 0; --j) {
        f[j] = (int) ((f[j] * (i - 1L) + f[j - 1]) % mod);
      }
      f[0] = 0;
    }
    return f[k];
  }
}

class Solution {
public:
  int rearrangeSticks(int n, int k) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    int f[k + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = k; j; --j) {
        f[j] = (f[j - 1] + f[j] * (i - 1LL)) % mod;
      }
      f[0] = 0;
    }
    return f[k];
  }
};

func rearrangeSticks(n int, k int) int {
  const mod = 1e9 + 7
  f := make([]int, k+1)
  f[0] = 1
  for i := 1; i <= n; i++ {
    for j := k; j > 0; j-- {
      f[j] = (f[j-1] + f[j]*(i-1)) % mod
    }
    f[0] = 0
  }
  return f[k]
}

function rearrangeSticks(n: number, k: number): number {
  const mod = 10 ** 9 + 7;
  const f: number[] = Array(n + 1).fill(0);
  f[0] = 1;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    for (let j = k; j; --j) {
      f[j] = (f[j] * (i - 1) + f[j - 1]) % mod;
    }
    f[0] = 0;
  }
  return f[k];
}