Question

2547. 拆分数组的最小代价

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k 。

将数组拆分成一些非空子数组。拆分的 代价 是每个子数组中的 重要性 之和。

令 trimmed(subarray) 作为子数组的一个特征，其中所有仅出现一次的数字将会被移除。

• 例如，trimmed([3,1,2,4,3,4]) = [3,4,3,4] 。

子数组的 重要性 定义为 k + trimmed(subarray).length 。

• 例如，如果一个子数组是 [1,2,3,3,3,4,4] ，trimmed([1,2,3,3,3,4,4]) = [3,3,3,4,4] 。这个子数组的重要性就是 k + 5 。

找出并返回拆分 nums 的所有可行方案中的最小代价。

子数组 是数组的一个连续 非空 元素序列。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,1,2,1,3,3], k = 2
输出：8
解释：将 nums 拆分成两个子数组：[1,2], [1,2,1,3,3]
[1,2] 的重要性是 2 + (0) = 2 。
[1,2,1,3,3] 的重要性是 2 + (2 + 2) = 6 。
拆分的代价是 2 + 6 = 8 ，可以证明这是所有可行的拆分方案中的最小代价。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,2,1], k = 2
输出：6
解释：将 nums 拆分成两个子数组：[1,2], [1,2,1] 。
[1,2] 的重要性是 2 + (0) = 2 。
[1,2,1] 的重要性是 2 + (2) = 4 。
拆分的代价是 2 + 4 = 6 ，可以证明这是所有可行的拆分方案中的最小代价。

示例 3：

输入：nums = [1,2,1,2,1], k = 5
输出：10
解释：将 nums 拆分成一个子数组：[1,2,1,2,1].
[1,2,1,2,1] 的重要性是 5 + (3 + 2) = 10 。
拆分的代价是 10 ，可以证明这是所有可行的拆分方案中的最小代价。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] < nums.length
• 1 <= k <= 109

 

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示从下标 $i$ 开始拆分的最小代价。那么答案就是 $dfs(0)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下：

• 如果 $i \ge n$，说明已经拆分到了数组末尾，此时返回 $0$。
• 否则，我们枚举子数组的末尾 $j$，过程中用一个数组或哈希表 cnt 统计子数组中每个数字出现的次数，用一个变量 one 统计子数组中出现次数为 $1$ 的数字的个数。那么子数组的重要性就是 $k + j - i + 1 - one$，拆分的代价就是 $k + j - i + 1 - one + dfs(j + 1)$。我们枚举所有的 $j$，取其中的最小值作为 $dfs(i)$ 的返回值。

过程中，我们可以使用记忆化搜索，即使用一个数组 $f$ 记忆化函数 $dfs(i)$ 的返回值，避免重复计算。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def minCost(self, nums: List[int], k: int) -> int:
    @cache
    def dfs(i):
      if i >= n:
        return 0
      cnt = Counter()
      one = 0
      ans = inf
      for j in range(i, n):
        cnt[nums[j]] += 1
        if cnt[nums[j]] == 1:
          one += 1
        elif cnt[nums[j]] == 2:
          one -= 1
        ans = min(ans, k + j - i + 1 - one + dfs(j + 1))
      return ans

    n = len(nums)
    return dfs(0)

class Solution {
  private Integer[] f;
  private int[] nums;
  private int n, k;

  public int minCost(int[] nums, int k) {
    n = nums.length;
    this.k = k;
    this.nums = nums;
    f = new Integer[n];
    return dfs(0);
  }

  private int dfs(int i) {
    if (i >= n) {
      return 0;
    }
    if (f[i] != null) {
      return f[i];
    }
    int[] cnt = new int[n];
    int one = 0;
    int ans = 1 << 30;
    for (int j = i; j < n; ++j) {
      int x = ++cnt[nums[j]];
      if (x == 1) {
        ++one;
      } else if (x == 2) {
        --one;
      }
      ans = Math.min(ans, k + j - i + 1 - one + dfs(j + 1));
    }
    return f[i] = ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int minCost(vector<int>& nums, int k) {
    int n = nums.size();
    int f[n];
    memset(f, 0, sizeof f);
    function<int(int)> dfs = [&](int i) {
      if (i >= n) {
        return 0;
      }
      if (f[i]) {
        return f[i];
      }
      int cnt[n];
      memset(cnt, 0, sizeof cnt);
      int one = 0;
      int ans = 1 << 30;
      for (int j = i; j < n; ++j) {
        int x = ++cnt[nums[j]];
        if (x == 1) {
          ++one;
        } else if (x == 2) {
          --one;
        }
        ans = min(ans, k + j - i + 1 - one + dfs(j + 1));
      }
      return f[i] = ans;
    };
    return dfs(0);
  }
};

func minCost(nums []int, k int) int {
  n := len(nums)
  f := make([]int, n)
  var dfs func(int) int
  dfs = func(i int) int {
    if i >= n {
      return 0
    }
    if f[i] > 0 {
      return f[i]
    }
    ans, one := 1<<30, 0
    cnt := make([]int, n)
    for j := i; j < n; j++ {
      cnt[nums[j]]++
      x := cnt[nums[j]]
      if x == 1 {
        one++
      } else if x == 2 {
        one--
      }
      ans = min(ans, k+j-i+1-one+dfs(j+1))
    }
    f[i] = ans
    return ans
  }
  return dfs(0)
}

function minCost(nums: number[], k: number): number {
  const n = nums.length;
  const f = new Array(n).fill(0);
  const dfs = (i: number) => {
    if (i >= n) {
      return 0;
    }
    if (f[i]) {
      return f[i];
    }
    const cnt = new Array(n).fill(0);
    let one = 0;
    let ans = 1 << 30;
    for (let j = i; j < n; ++j) {
      const x = ++cnt[nums[j]];
      if (x == 1) {
        ++one;
      } else if (x == 2) {
        --one;
      }
      ans = Math.min(ans, k + j - i + 1 - one + dfs(j + 1));
    }
    f[i] = ans;
    return f[i];
  };
  return dfs(0);
}