Question

688. 骑士在棋盘上的概率

English Version

题目描述

在一个 n x n 的国际象棋棋盘上，一个骑士从单元格 (row, column) 开始，并尝试进行 k 次移动。行和列是 从 0 开始 的，所以左上单元格是 (0,0) ，右下单元格是 (n - 1, n - 1) 。

象棋骑士有8种可能的走法，如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格，然后在正交方向上是一个单元格。

每次骑士要移动时，它都会随机从8种可能的移动中选择一种(即使棋子会离开棋盘)，然后移动到那里。

骑士继续移动，直到它走了 k 步或离开了棋盘。

返回 _骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率_ 。

 

示例 1：

输入: n = 3, k = 2, row = 0, column = 0
输出: 0.0625
解释: 有两步(到(1,2)，(2,1))可以让骑士留在棋盘上。
在每一个位置上，也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。
骑士留在棋盘上的总概率是0.0625。

示例 2：

输入: n = 1, k = 0, row = 0, column = 0
输出: 1.00000

 

提示:

• 1 <= n <= 25
• 0 <= k <= 100
• 0 <= row, column <= n - 1

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[h][i][j]$ 表示骑士从 $(i, j)$ 位置出发，走了 $h$ 步以后还留在棋盘上的概率。那么最终答案就是 $f[k][row][column]$。

当 $h=0$ 时，骑士一定在棋盘上，概率为 $1$，即 $f[0][i][j]=1$。

当 $h \gt 0$ 时，骑士在 $(i, j)$ 位置上的概率可以由其上一步的 $8$ 个位置上的概率转移得到，即：

$$ f[h][i][j] = \sum_{a, b} f[h - 1][a][b] \times \frac{1}{8} $$

其中 $(a, b)$ 是从 $(i, j)$ 位置可以走到的 $8$ 个位置中的一个。

最终答案即为 $f[k][row][column]$。

时间复杂度 $O(k \times n^2)$，空间复杂度 $O(k \times n^2)$。其中 $k$ 和 $n$ 分别是给定的步数和棋盘大小。

class Solution:
  def knightProbability(self, n: int, k: int, row: int, column: int) -> float:
    f = [[[0] * n for _ in range(n)] for _ in range(k + 1)]
    for i in range(n):
      for j in range(n):
        f[0][i][j] = 1
    for h in range(1, k + 1):
      for i in range(n):
        for j in range(n):
          for a, b in pairwise((-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2)):
            x, y = i + a, j + b
            if 0 <= x < n and 0 <= y < n:
              f[h][i][j] += f[h - 1][x][y] / 8
    return f[k][row][column]

class Solution {
  public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
    double[][][] f = new double[k + 1][n][n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        f[0][i][j] = 1;
      }
    }
    int[] dirs = {-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2};
    for (int h = 1; h <= k; ++h) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
          for (int p = 0; p < 8; ++p) {
            int x = i + dirs[p], y = j + dirs[p + 1];
            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n) {
              f[h][i][j] += f[h - 1][x][y] / 8;
            }
          }
        }
      }
    }
    return f[k][row][column];
  }
}

class Solution {
public:
  double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
    double f[k + 1][n][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        f[0][i][j] = 1;
      }
    }
    int dirs[9] = {-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2};
    for (int h = 1; h <= k; ++h) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
          for (int p = 0; p < 8; ++p) {
            int x = i + dirs[p], y = j + dirs[p + 1];
            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n) {
              f[h][i][j] += f[h - 1][x][y] / 8;
            }
          }
        }
      }
    }
    return f[k][row][column];
  }
};

func knightProbability(n int, k int, row int, column int) float64 {
  f := make([][][]float64, k+1)
  for h := range f {
    f[h] = make([][]float64, n)
    for i := range f[h] {
      f[h][i] = make([]float64, n)
      for j := range f[h][i] {
        f[0][i][j] = 1
      }
    }
  }
  dirs := [9]int{-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2}
  for h := 1; h <= k; h++ {
    for i := 0; i < n; i++ {
      for j := 0; j < n; j++ {
        for p := 0; p < 8; p++ {
          x, y := i+dirs[p], j+dirs[p+1]
          if x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n {
            f[h][i][j] += f[h-1][x][y] / 8
          }
        }
      }
    }
  }
  return f[k][row][column]
}

function knightProbability(n: number, k: number, row: number, column: number): number {
  const f = new Array(k + 1)
    .fill(0)
    .map(() => new Array(n).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0)));
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      f[0][i][j] = 1;
    }
  }
  const dirs = [-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2];
  for (let h = 1; h <= k; ++h) {
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
      for (let j = 0; j < n; ++j) {
        for (let p = 0; p < 8; ++p) {
          const x = i + dirs[p];
          const y = j + dirs[p + 1];
          if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n) {
            f[h][i][j] += f[h - 1][x][y] / 8;
          }
        }
      }
    }
  }
  return f[k][row][column];
}

const DIR: [(i32, i32); 8] = [
  (-2, -1),
  (2, -1),
  (-1, -2),
  (1, -2),
  (2, 1),
  (-2, 1),
  (1, 2),
  (-1, 2),
];
const P: f64 = 1.0 / 8.0;

impl Solution {
  #[allow(dead_code)]
  pub fn knight_probability(n: i32, k: i32, row: i32, column: i32) -> f64 {
    // Here dp[i][j][k] represents through `i` steps, the probability that the knight stays on the board
    // Starts from row: `j`, column: `k`
    let mut dp: Vec<Vec<Vec<f64>>> =
      vec![vec![vec![0 as f64; n as usize]; n as usize]; k as usize + 1];

    // Initialize the dp vector, since dp[0][j][k] should be 1
    for j in 0..n as usize {
      for k in 0..n as usize {
        dp[0][j][k] = 1.0;
      }
    }

    // Begin the actual dp process
    for i in 1..=k {
      for j in 0..n {
        for k in 0..n {
          for (dx, dy) in DIR {
            let x = j + dx;
            let y = k + dy;
            if Self::check_bounds(x, y, n, n) {
              dp[i as usize][j as usize][k as usize] +=
                P * dp[(i as usize) - 1][x as usize][y as usize];
            }
          }
        }
      }
    }

    dp[k as usize][row as usize][column as usize]
  }

  #[allow(dead_code)]
  fn check_bounds(i: i32, j: i32, n: i32, m: i32) -> bool {
    i >= 0 && i < n && j >= 0 && j < m
  }
}