Question

799. 香槟塔

English Version

题目描述

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

 

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000

 

提示:

• 0 <= poured <= 109
• 0 <= query_glass <= query_row < 100

解法

方法一：模拟

我们直接模拟倒香槟的过程。

定义一个二维数组 $f$，其中 $f[i][j]$ 表示第 $i$ 层第 $j$ 个玻璃杯中的香槟量。初始时 $f[0][0] = poured$。

对于每一层，如果当前杯子的香槟量 $f[i][j]$ 大于 $1$，香槟会流向下一层的两个杯子，流入的量为 $\frac{f[i][j]-1}{2}$，即当前杯子的香槟量减去 $1$ 后除以 $2$，然后当前杯子的香槟量更新为 $1$。

模拟结束，返回 $f[query_row][query_glass]$ 即可。

由于每一层的香槟量只与上一层的香槟量有关，因此我们可以用滚动数组的方式优化空间复杂度，将二维数组优化为一维数组。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为层数，即 $query_row$。

class Solution:
  def champagneTower(self, poured: int, query_row: int, query_glass: int) -> float:
    f = [[0] * 101 for _ in range(101)]
    f[0][0] = poured
    for i in range(query_row + 1):
      for j in range(i + 1):
        if f[i][j] > 1:
          half = (f[i][j] - 1) / 2
          f[i][j] = 1
          f[i + 1][j] += half
          f[i + 1][j + 1] += half
    return f[query_row][query_glass]

class Solution {
  public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
    double[][] f = new double[101][101];
    f[0][0] = poured;
    for (int i = 0; i <= query_row; ++i) {
      for (int j = 0; j <= i; ++j) {
        if (f[i][j] > 1) {
          double half = (f[i][j] - 1) / 2.0;
          f[i][j] = 1;
          f[i + 1][j] += half;
          f[i + 1][j + 1] += half;
        }
      }
    }
    return f[query_row][query_glass];
  }
}

class Solution {
public:
  double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
    double f[101][101] = {0.0};
    f[0][0] = poured;
    for (int i = 0; i <= query_row; ++i) {
      for (int j = 0; j <= i; ++j) {
        if (f[i][j] > 1) {
          double half = (f[i][j] - 1) / 2.0;
          f[i][j] = 1;
          f[i + 1][j] += half;
          f[i + 1][j + 1] += half;
        }
      }
    }
    return f[query_row][query_glass];
  }
};

func champagneTower(poured int, query_row int, query_glass int) float64 {
  f := [101][101]float64{}
  f[0][0] = float64(poured)
  for i := 0; i <= query_row; i++ {
    for j := 0; j <= i; j++ {
      if f[i][j] > 1 {
        half := (f[i][j] - 1) / 2.0
        f[i][j] = 1
        f[i+1][j] += half
        f[i+1][j+1] += half
      }
    }
  }
  return f[query_row][query_glass]
}

function champagneTower(poured: number, query_row: number, query_glass: number): number {
  let row = [poured];
  for (let i = 1; i <= query_row; i++) {
    const nextRow = new Array(i + 1).fill(0);
    for (let j = 0; j < i; j++) {
      if (row[j] > 1) {
        nextRow[j] += (row[j] - 1) / 2;
        nextRow[j + 1] += (row[j] - 1) / 2;
      }
    }
    row = nextRow;
  }
  return Math.min(1, row[query_glass]);
}

impl Solution {
  pub fn champagne_tower(poured: i32, query_row: i32, query_glass: i32) -> f64 {
    let query_row = query_row as usize;
    let query_glass = query_glass as usize;
    let mut row = vec![poured as f64];
    for i in 1..=query_row {
      let mut next_row = vec![0f64; i + 1];
      for j in 0..i {
        if row[j] > 1f64 {
          next_row[j] += (row[j] - 1f64) / 2f64;
          next_row[j + 1] += (row[j] - 1f64) / 2f64;
        }
      }
      row = next_row;
    }
    (1f64).min(row[query_glass])
  }
}

方法二

class Solution:
  def champagneTower(self, poured: int, query_row: int, query_glass: int) -> float:
    f = [poured]
    for i in range(1, query_row + 1):
      g = [0] * (i + 1)
      for j, v in enumerate(f):
        if v > 1:
          half = (v - 1) / 2
          g[j] += half
          g[j + 1] += half
      f = g
    return min(1, f[query_glass])

class Solution {
  public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
    double[] f = {poured};
    for (int i = 1; i <= query_row; ++i) {
      double[] g = new double[i + 1];
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        if (f[j] > 1) {
          double half = (f[j] - 1) / 2.0;
          g[j] += half;
          g[j + 1] += half;
        }
      }
      f = g;
    }
    return Math.min(1, f[query_glass]);
  }
}

class Solution {
public:
  double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
    double f[101] = {(double) poured};
    double g[101];
    for (int i = 1; i <= query_row; ++i) {
      memset(g, 0, sizeof g);
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        if (f[j] > 1) {
          double half = (f[j] - 1) / 2.0;
          g[j] += half;
          g[j + 1] += half;
        }
      }
      memcpy(f, g, sizeof g);
    }
    return min(1.0, f[query_glass]);
  }
};

func champagneTower(poured int, query_row int, query_glass int) float64 {
  f := []float64{float64(poured)}
  for i := 1; i <= query_row; i++ {
    g := make([]float64, i+1)
    for j, v := range f {
      if v > 1 {
        half := (v - 1) / 2.0
        g[j] += half
        g[j+1] += half
      }
    }
    f = g
  }
  return math.Min(1, f[query_glass])
}