Question

面试题 08.11. 硬币

English Version

题目描述

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

 输入: n = 5
 输出：2
 解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

 输入: n = 10
 输出：4
 解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明：

注意:

你可以假设：

• 0 <= n (总金额) <= 1000000

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示只使用前 $i$ 种硬币的情况下，凑成总金额为 $j$ 的方案数。初始时 $f[0][0]=1$，其余元素都为 $0$。答案为 $f[4][n]$。

考虑 $f[i][j]$，我们可以枚举使用的第 $i$ 种硬币的个数 $k$，其中 $0 \leq k \leq j / c_i$，那么 $f[i][j]$ 就等于所有 $f[i−1][j−k \times c_i]$ 之和。由于硬币的数量是无限的，因此 $k$ 可以从 $0$ 开始取。即状态转移方程如下：

$$ f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - c_i] + \cdots + f[i - 1][j - k \times c_i] $$

不妨令 $j = j - c_i$，那么上面的状态转移方程可以写成：

$$ f[i][j - c_i] = f[i - 1][j - c_i] + f[i - 1][j - 2 \times c_i] + \cdots + f[i - 1][j - k \times c_i] $$

将二式代入一式，得到：

$$ f[i][j]= \begin{cases} f[i - 1][j] + f[i][j - c_i], & j \geq c_i \ f[i - 1][j], & j < c_i \end{cases} $$

最后的答案即为 $f[4][n]$。

时间复杂度 $O(C \times n)$，空间复杂度 $O(C \times n)$，其中 $C$ 为硬币的种类数。

我们注意到，$f[i][j]$ 的计算只与 $f[i−1][..]$ 有关，因此我们可以去掉第一维，将空间复杂度优化到 $O(n)$。

class Solution:
  def waysToChange(self, n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    coins = [25, 10, 5, 1]
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(5)]
    f[0][0] = 1
    for i, c in enumerate(coins, 1):
      for j in range(n + 1):
        f[i][j] = f[i - 1][j]
        if j >= c:
          f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - c]) % mod
    return f[-1][n]

class Solution {
  public int waysToChange(int n) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    int[] coins = {25, 10, 5, 1};
    int[][] f = new int[5][n + 1];
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 4; ++i) {
      for (int j = 0; j <= n; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= coins[i - 1]) {
          f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - coins[i - 1]]) % mod;
        }
      }
    }
    return f[4][n];
  }
}

class Solution {
public:
  int waysToChange(int n) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    vector<int> coins = {25, 10, 5, 1};
    int f[5][n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 4; ++i) {
      for (int j = 0; j <= n; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= coins[i - 1]) {
          f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - coins[i - 1]]) % mod;
        }
      }
    }
    return f[4][n];
  }
};

func waysToChange(n int) int {
  const mod int = 1e9 + 7
  coins := []int{25, 10, 5, 1}
  f := make([][]int, 5)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n+1)
  }
  f[0][0] = 1
  for i := 1; i <= 4; i++ {
    for j := 0; j <= n; j++ {
      f[i][j] = f[i-1][j]
      if j >= coins[i-1] {
        f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j-coins[i-1]]) % mod
      }
    }
  }
  return f[4][n]
}

function waysToChange(n: number): number {
  const mod = 10 ** 9 + 7;
  const coins: number[] = [25, 10, 5, 1];
  const f: number[][] = Array(5)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n + 1).fill(0));
  f[0][0] = 1;
  for (let i = 1; i <= 4; ++i) {
    for (let j = 0; j <= n; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j >= coins[i - 1]) {
        f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - coins[i - 1]]) % mod;
      }
    }
  }
  return f[4][n];
}

方法二

class Solution:
  def waysToChange(self, n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    coins = [25, 10, 5, 1]
    f = [1] + [0] * n
    for c in coins:
      for j in range(c, n + 1):
        f[j] = (f[j] + f[j - c]) % mod
    return f[n]

class Solution {
  public int waysToChange(int n) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    int[] coins = {25, 10, 5, 1};
    int[] f = new int[n + 1];
    f[0] = 1;
    for (int c : coins) {
      for (int j = c; j <= n; ++j) {
        f[j] = (f[j] + f[j - c]) % mod;
      }
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  int waysToChange(int n) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    vector<int> coins = {25, 10, 5, 1};
    int f[n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0] = 1;
    for (int c : coins) {
      for (int j = c; j <= n; ++j) {
        f[j] = (f[j] + f[j - c]) % mod;
      }
    }
    return f[n];
  }
};

func waysToChange(n int) int {
  const mod int = 1e9 + 7
  coins := []int{25, 10, 5, 1}
  f := make([]int, n+1)
  f[0] = 1
  for _, c := range coins {
    for j := c; j <= n; j++ {
      f[j] = (f[j] + f[j-c]) % mod
    }
  }
  return f[n]
}

function waysToChange(n: number): number {
  const mod = 10 ** 9 + 7;
  const coins: number[] = [25, 10, 5, 1];
  const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  f[0] = 1;
  for (const c of coins) {
    for (let i = c; i <= n; ++i) {
      f[i] = (f[i] + f[i - c]) % mod;
    }
  }
  return f[n];
}