Question

1901. 寻找峰值 II

English Version

题目描述

一个 2D 网格中的 峰值 是指那些 严格大于 其相邻格子(上、下、左、右)的元素。

给你一个 从 0 开始编号 的 m x n 矩阵 mat ，其中任意两个相邻格子的值都 不相同 。找出 任意一个 峰值 mat[i][j] 并 返回其位置 [i,j] 。

你可以假设整个矩阵周边环绕着一圈值为 -1 的格子。

要求必须写出时间复杂度为 O(m log(n)) 或 O(n log(m)) 的算法

 

 

示例 1:

输入: mat = [[1,4],[3,2]]
输出: [0,1]
解释: 3 和 4 都是峰值，所以[1,0]和[0,1]都是可接受的答案。

示例 2:

输入: mat = [[10,20,15],[21,30,14],[7,16,32]]
输出: [1,1]
解释: 30 和 32 都是峰值，所以[1,1]和[2,2]都是可接受的答案。

 

提示：

• m == mat.length
• n == mat[i].length
• 1 <= m, n <= 500
• 1 <= mat[i][j] <= 105
• 任意两个相邻元素均不相等.

解法

方法一：二分查找

记 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的行数和列数。

题目要求我们寻找峰值，并且时间复杂度为 $O(m \times \log n)$ 或 $O(n \times \log m)$，那么我们可以考虑使用二分查找。

我们考虑第 $i$ 行的最大值，不妨将其下标记为 $j$。

如果 $mat[i][j] \gt mat[i + 1][j]$，那么第 $[0,..i]$ 行中必然存在一个峰值，我们只需要在第 $[0,..i]$ 行中找到最大值即可。同理，如果 $mat[i][j] \lt mat[i + 1][j]$，那么第 $[i + 1,..m - 1]$ 行中必然存在一个峰值，我们只需要在第 $[i + 1,..m - 1]$ 行中找到最大值即可。

为什么上述做法是对的？我们不妨用反证法来证明。

如果 $mat[i][j] \gt mat[i + 1][j]$，假设第 $[0,..i]$ 行中不存在峰值，那么 $mat[i][j]$ 不是峰值，而由于 $mat[i][j]$ 是第 $i$ 行的最大值，并且 $mat[i][j] \gt mat[i + 1][j]$，那么 $mat[i][j] \lt mat[i - 1][j]$。我们继续从第 $i - 1$ 行往上考虑，每一行的最大值都小于上一行的最大值。那么当遍历到 $i = 0$ 时，由于矩阵中的元素都是正整数，并且矩阵周边一圈的格子的值都为 $-1$。因此，在第 $0$ 行时，其最大值大于其所有相邻元素，那么第 $0$ 行的最大值就是峰值，与假设矛盾。因此，第 $[0,..i]$ 行中必然存在一个峰值。

对于 $mat[i][j] \lt mat[i + 1][j]$ 的情况，我们可以用类似的方法证明第 $[i + 1,..m - 1]$ 行中必然存在一个峰值。

因此，我们可以使用二分查找来寻找峰值。

我们二分查找矩阵的行，初始时查找的边界为 $l = 0$, $r = m - 1$。每一次，我们找到当前的中间行 $mid$，并找到该行的最大值下标 $j$。如果 $mat[mid][j] \gt mat[mid + 1][j]$，那么我们就在第 $[0,..mid]$ 行中寻找峰值，即更新 $r = mid$。否则，我们就在第 $[mid + 1,..m - 1]$ 行中寻找峰值，即更新 $l = mid + 1$。当 $l = r$ 时，我们就找到了峰值所在的位置 $[l, j_l]$。其中 $j_l$ 是第 $l$ 行的最大值下标。

时间复杂度 $O(n \times \log m)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的行数和列数。二分查找的时间复杂度为 $O(\log m)$，每次二分查找时，我们需要遍历第 $mid$ 行的所有元素，时间复杂度为 $O(n)$。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def findPeakGrid(self, mat: List[List[int]]) -> List[int]:
    l, r = 0, len(mat) - 1
    while l < r:
      mid = (l + r) >> 1
      j = mat[mid].index(max(mat[mid]))
      if mat[mid][j] > mat[mid + 1][j]:
        r = mid
      else:
        l = mid + 1
    return [l, mat[l].index(max(mat[l]))]

class Solution {
  public int[] findPeakGrid(int[][] mat) {
    int l = 0, r = mat.length - 1;
    int n = mat[0].length;
    while (l < r) {
      int mid = (l + r) >> 1;
      int j = maxPos(mat[mid]);
      if (mat[mid][j] > mat[mid + 1][j]) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return new int[] {l, maxPos(mat[l])};
  }

  private int maxPos(int[] arr) {
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < arr.length; ++i) {
      if (arr[j] < arr[i]) {
        j = i;
      }
    }
    return j;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> findPeakGrid(vector<vector<int>>& mat) {
    int l = 0, r = mat.size() - 1;
    while (l < r) {
      int mid = (l + r) >> 1;
      int j = distance(mat[mid].begin(), max_element(mat[mid].begin(), mat[mid].end()));
      if (mat[mid][j] > mat[mid + 1][j]) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    int j = distance(mat[l].begin(), max_element(mat[l].begin(), mat[l].end()));
    return {l, j};
  }
};

func findPeakGrid(mat [][]int) []int {
  maxPos := func(arr []int) int {
    j := 0
    for i := 1; i < len(arr); i++ {
      if arr[i] > arr[j] {
        j = i
      }
    }
    return j
  }
  l, r := 0, len(mat)-1
  for l < r {
    mid := (l + r) >> 1
    j := maxPos(mat[mid])
    if mat[mid][j] > mat[mid+1][j] {
      r = mid
    } else {
      l = mid + 1
    }
  }
  return []int{l, maxPos(mat[l])}
}

function findPeakGrid(mat: number[][]): number[] {
  let [l, r] = [0, mat.length - 1];
  while (l < r) {
    const mid = (l + r) >> 1;
    const j = mat[mid].indexOf(Math.max(...mat[mid]));
    if (mat[mid][j] > mat[mid + 1][j]) {
      r = mid;
    } else {
      l = mid + 1;
    }
  }
  return [l, mat[l].indexOf(Math.max(...mat[l]))];
}

impl Solution {
  pub fn find_peak_grid(mat: Vec<Vec<i32>>) -> Vec<i32> {
    let mut l: usize = 0;
    let mut r: usize = mat.len() - 1;
    while l < r {
      let mid: usize = (l + r) >> 1;
      let j: usize = mat[mid]
        .iter()
        .position(|&x| x == *mat[mid].iter().max().unwrap())
        .unwrap();
      if mat[mid][j] > mat[mid + 1][j] {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    let j: usize = mat[l]
      .iter()
      .position(|&x| x == *mat[l].iter().max().unwrap())
      .unwrap();
    vec![l as i32, j as i32]
  }
}