Question

1749. 任意子数组和的绝对值的最大值

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums 。一个子数组 [numsl, numsl+1, ..., numsr-1, numsr] 的 和的绝对值 为 abs(numsl + numsl+1 + ... + numsr-1 + numsr) 。

请你找出 nums 中 和的绝对值 最大的任意子数组（可能为空），并返回该 最大值 。

abs(x) 定义如下：

• 如果 x 是负整数，那么 abs(x) = -x 。
• 如果 x 是非负整数，那么 abs(x) = x 。

 

示例 1：

输入：nums = [1,-3,2,3,-4]
输出：5
解释：子数组 [2,3] 和的绝对值最大，为 abs(2+3) = abs(5) = 5 。

示例 2：

输入：nums = [2,-5,1,-4,3,-2]
输出：8
解释：子数组 [-5,1,-4] 和的绝对值最大，为 abs(-5+1-4) = abs(-8) = 8 。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示以 $nums[i]$ 结尾的子数组的和的最大值，定义 $g[i]$ 表示以 $nums[i]$ 结尾的子数组的和的最小值。那么 $f[i]$ 和 $g[i]$ 的状态转移方程如下：

$$ \begin{aligned} f[i] &= \max(f[i - 1], 0) + nums[i] \ g[i] &= \min(g[i - 1], 0) + nums[i] \end{aligned} $$

最后答案为 $max(f[i], |g[i]|)$ 的最大值。

由于 $f[i]$ 和 $g[i]$ 只与 $f[i - 1]$ 和 $g[i - 1]$ 有关，因此我们可以使用两个变量代替数组，将空间复杂度降低到 $O(1)$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def maxAbsoluteSum(self, nums: List[int]) -> int:
    f = g = 0
    ans = 0
    for x in nums:
      f = max(f, 0) + x
      g = min(g, 0) + x
      ans = max(ans, f, abs(g))
    return ans

class Solution {
  public int maxAbsoluteSum(int[] nums) {
    int f = 0, g = 0;
    int ans = 0;
    for (int x : nums) {
      f = Math.max(f, 0) + x;
      g = Math.min(g, 0) + x;
      ans = Math.max(ans, Math.max(f, Math.abs(g)));
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxAbsoluteSum(vector<int>& nums) {
    int f = 0, g = 0;
    int ans = 0;
    for (int& x : nums) {
      f = max(f, 0) + x;
      g = min(g, 0) + x;
      ans = max({ans, f, abs(g)});
    }
    return ans;
  }
};

func maxAbsoluteSum(nums []int) (ans int) {
  var f, g int
  for _, x := range nums {
    f = max(f, 0) + x
    g = min(g, 0) + x
    ans = max(ans, max(f, abs(g)))
  }
  return
}

func abs(x int) int {
  if x < 0 {
    return -x
  }
  return x
}

function maxAbsoluteSum(nums: number[]): number {
  let f = 0;
  let g = 0;
  let ans = 0;
  for (const x of nums) {
    f = Math.max(f, 0) + x;
    g = Math.min(g, 0) + x;
    ans = Math.max(ans, f, -g);
  }
  return ans;
}

impl Solution {
  pub fn max_absolute_sum(nums: Vec<i32>) -> i32 {
    let mut f = 0;
    let mut g = 0;
    let mut ans = 0;
    for x in nums {
      f = i32::max(f, 0) + x;
      g = i32::min(g, 0) + x;
      ans = i32::max(ans, f.max(-g));
    }
    ans
  }
}