Question

907. 子数组的最小值之和

English Version

题目描述

给定一个整数数组 arr，找到 min(b) 的总和，其中 b 的范围为 arr 的每个（连续）子数组。

由于答案可能很大，因此 返回答案模 10^9 + 7 。

 

示例 1：

输入：arr = [3,1,2,4]
输出：17
解释：
子数组为 [3]，[1]，[2]，[4]，[3,1]，[1,2]，[2,4]，[3,1,2]，[1,2,4]，[3,1,2,4]。 
最小值为 3，1，2，4，1，1，2，1，1，1，和为 17。

示例 2：

输入：arr = [11,81,94,43,3]
输出：444

 

提示：

• 1 <= arr.length <= 3 * 104
• 1 <= arr[i] <= 3 * 104

 

解法

方法一：单调栈

题目要求的是每个子数组的最小值之和，实际上相当于，对于每个元素 $arr[i]$，求以 $arr[i]$ 为最小值的子数组的个数，然后乘以 $arr[i]$，最后求和。

因此，题目的重点转换为：求以 $arr[i]$ 为最小值的子数组的个数。对于 $arr[i]$，我们找出其左边第一个小于 $arr[i]$ 的位置 $left[i]$，右侧第一个小于等于 $arr[i]$ 的位置 $right[i]$，则以 $arr[i]$ 为最小值的子数组的个数为 $(i - left[i]) \times (right[i] - i)$。

注意，这里为什么要求右侧第一个小于等于 $arr[i]$ 的位置 $right[i]$，而不是小于 $arr[i]$ 的位置呢？这是因为，如果是右侧第一个小于 $arr[i]$ 的位置 $right[i]$，则会导致重复计算。

我们可以举个例子来说明，对于以下数组：

下标为 $3$ 的元素大小为 $2$，左侧第一个小于 $2$ 的元素下标为 $0$，如果我们求右侧第一个小于 $2$ 的元素下标，可以得到下标为 $7$。也即是说，子数组区间为 $(0, 7)$。注意，这里是开区间。

0 4 3 2 5 3 2 1
*   ^     *

按照同样的方法，我们可以求出下标为 $6$ 的元素的子数组区间，可以发现，其子数组区间也为 $(0, 7)$，也即是说，下标为 $3$ 和下标为 $6$ 的元素的子数组区间是重复的。这样就造成了重复计算。

0 4 3 2 5 3 2 1
*       ^ *

如果我们求的是右侧第一个小于等于其值的下标，就不会有重复问题，因为下标为 $3$ 的子数组区间变为 $(0, 6)$，下标为 $6$ 的子数组区间为 $(0, 7)$，两者不重复。

回到这道题上，我们只需要遍历数组，对于每个元素 $arr[i]$，利用单调栈求出其左侧第一个小于 $arr[i]$ 的位置 $left[i]$，右侧第一个小于等于 $arr[i]$ 的位置 $right[i]$，则以 $arr[i]$ 为最小值的子数组的个数为 $(i - left[i]) \times (right[i] - i)$，然后乘以 $arr[i]$，最后求和即可。

注意数据的溢出以及取模操作。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $arr$ 的长度。

class Solution:
  def sumSubarrayMins(self, arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    left = [-1] * n
    right = [n] * n
    stk = []
    for i, v in enumerate(arr):
      while stk and arr[stk[-1]] >= v:
        stk.pop()
      if stk:
        left[i] = stk[-1]
      stk.append(i)

    stk = []
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      while stk and arr[stk[-1]] > arr[i]:
        stk.pop()
      if stk:
        right[i] = stk[-1]
      stk.append(i)
    mod = 10**9 + 7
    return sum((i - left[i]) * (right[i] - i) * v for i, v in enumerate(arr)) % mod

class Solution {
  public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
    int n = arr.length;
    int[] left = new int[n];
    int[] right = new int[n];
    Arrays.fill(left, -1);
    Arrays.fill(right, n);
    Deque<Integer> stk = new ArrayDeque<>();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      while (!stk.isEmpty() && arr[stk.peek()] >= arr[i]) {
        stk.pop();
      }
      if (!stk.isEmpty()) {
        left[i] = stk.peek();
      }
      stk.push(i);
    }
    stk.clear();
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      while (!stk.isEmpty() && arr[stk.peek()] > arr[i]) {
        stk.pop();
      }
      if (!stk.isEmpty()) {
        right[i] = stk.peek();
      }
      stk.push(i);
    }
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ans += (long) (i - left[i]) * (right[i] - i) % mod * arr[i] % mod;
      ans %= mod;
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int sumSubarrayMins(vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    vector<int> left(n, -1);
    vector<int> right(n, n);
    stack<int> stk;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      while (!stk.empty() && arr[stk.top()] >= arr[i]) {
        stk.pop();
      }
      if (!stk.empty()) {
        left[i] = stk.top();
      }
      stk.push(i);
    }
    stk = stack<int>();
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      while (!stk.empty() && arr[stk.top()] > arr[i]) {
        stk.pop();
      }
      if (!stk.empty()) {
        right[i] = stk.top();
      }
      stk.push(i);
    }
    long long ans = 0;
    const int mod = 1e9 + 7;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ans += 1LL * (i - left[i]) * (right[i] - i) * arr[i] % mod;
      ans %= mod;
    }
    return ans;
  }
};

func sumSubarrayMins(arr []int) (ans int) {
  n := len(arr)
  left := make([]int, n)
  right := make([]int, n)
  for i := range left {
    left[i] = -1
    right[i] = n
  }
  stk := []int{}
  for i, v := range arr {
    for len(stk) > 0 && arr[stk[len(stk)-1]] >= v {
      stk = stk[:len(stk)-1]
    }
    if len(stk) > 0 {
      left[i] = stk[len(stk)-1]
    }
    stk = append(stk, i)
  }
  stk = []int{}
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    for len(stk) > 0 && arr[stk[len(stk)-1]] > arr[i] {
      stk = stk[:len(stk)-1]
    }
    if len(stk) > 0 {
      right[i] = stk[len(stk)-1]
    }
    stk = append(stk, i)
  }
  const mod int = 1e9 + 7
  for i, v := range arr {
    ans += (i - left[i]) * (right[i] - i) * v % mod
    ans %= mod
  }
  return
}

function sumSubarrayMins(arr: number[]): number {
  const n: number = arr.length;
  const left: number[] = Array(n).fill(-1);
  const right: number[] = Array(n).fill(n);
  const stk: number[] = [];
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    while (stk.length > 0 && arr[stk.at(-1)] >= arr[i]) {
      stk.pop();
    }
    if (stk.length > 0) {
      left[i] = stk.at(-1);
    }
    stk.push(i);
  }

  stk.length = 0;
  for (let i = n - 1; ~i; --i) {
    while (stk.length > 0 && arr[stk.at(-1)] > arr[i]) {
      stk.pop();
    }
    if (stk.length > 0) {
      right[i] = stk.at(-1);
    }
    stk.push(i);
  }

  const mod: number = 1e9 + 7;
  let ans: number = 0;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    ans += ((((i - left[i]) * (right[i] - i)) % mod) * arr[i]) % mod;
    ans %= mod;
  }
  return ans;
}

use std::collections::VecDeque;

impl Solution {
  pub fn sum_subarray_mins(arr: Vec<i32>) -> i32 {
    let n = arr.len();
    let mut left = vec![-1; n];
    let mut right = vec![n as i32; n];
    let mut stk: VecDeque<usize> = VecDeque::new();

    for i in 0..n {
      while !stk.is_empty() && arr[*stk.back().unwrap()] >= arr[i] {
        stk.pop_back();
      }
      if let Some(&top) = stk.back() {
        left[i] = top as i32;
      }
      stk.push_back(i);
    }

    stk.clear();
    for i in (0..n).rev() {
      while !stk.is_empty() && arr[*stk.back().unwrap()] > arr[i] {
        stk.pop_back();
      }
      if let Some(&top) = stk.back() {
        right[i] = top as i32;
      }
      stk.push_back(i);
    }

    let MOD = 1_000_000_007;
    let mut ans: i64 = 0;
    for i in 0..n {
      ans +=
        ((((right[i] - (i as i32)) * ((i as i32) - left[i])) as i64) * (arr[i] as i64)) %
        MOD;
      ans %= MOD;
    }
    ans as i32
  }
}