Question

素数的定义看起来很简单，如果一个数如果只能被 1 和它本身整除，那么这个数就是素数。

不要觉得素数的定义简单，恐怕没多少人真的能把素数相关的算法写得高效。比如让你写这样一个函数：

// 返回区间 [2, n) 中有几个素数 
int countPrimes(int n)

// 比如 countPrimes(10) 返回 4
// 因为 2,3,5,7 是素数

你会如何写这个函数？我想大家应该会这样写：

int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrim(i)) count++;
    return count;
}

// 判断整数 n 是否是素数
boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (n % i == 0)
            // 有其他整除因子
            return false;
    return true;
}

这样写的话时间复杂度 O(n^2)，问题很大。首先你用 isPrime 函数来辅助的思路就不够高效；而且就算你要用 isPrime 函数，这样写算法也是存在计算冗余的。

先来简单说下如果你要判断一个数是不是素数，应该如何写算法。只需稍微修改一下上面的 isPrim 代码中的 for 循环条件：

boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
        ...
}

换句话说，i 不需要遍历到 n，而只需要到 sqrt(n) 即可。为什么呢，我们举个例子，假设 n = 12。

12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2

可以看到，后两个乘积就是前面两个反过来，反转临界点就在 sqrt(n)。

换句话说，如果在 [2,sqrt(n)] 这个区间之内没有发现可整除因子，就可以直接断定 n 是素数了，因为在区间 [sqrt(n),n] 也一定不会发现可整除因子。

现在，isPrime 函数的时间复杂度降为 O(sqrt(N))，但是我们实现 countPrimes 函数其实并不需要这个函数，以上只是希望读者明白 sqrt(n) 的含义，因为等会还会用到。

高效实现 countPrimes

高效解决这个问题的核心思路是和上面的常规思路反着来：

首先从 2 开始，我们知道 2 是一个素数，那么 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8... 都不可能是素数了。

然后我们发现 3 也是素数，那么 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12... 也都不可能是素数了。

看到这里，你是否有点明白这个排除法的逻辑了呢？先看我们的第一版代码：

int countPrimes(int n) {
    boolean[] isPrim = new boolean[n];
    // 将数组都初始化为 true
    Arrays.fill(isPrim, true);

    for (int i = 2; i < n; i++) 
        if (isPrim[i]) 
            // i 的倍数不可能是素数了
            for (int j = 2 * i; j < n; j += i) 
                    isPrim[j] = false;

    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrim[i]) count++;

    return count;
}

如果上面这段代码你能够理解，那么你已经掌握了整体思路，但是还有两个细微的地方可以优化。

首先，回想刚才判断一个数是否是素数的 isPrime 函数，由于因子的对称性，其中的 for 循环只需要遍历 [2,sqrt(n)] 就够了。这里也是类似的，我们外层的 for 循环也只需要遍历到 sqrt(n)：

for (int i = 2; i * i < n; i++) 
    if (isPrim[i]) 
        ...

除此之外，很难注意到内层的 for 循环也可以优化。我们之前的做法是：

for (int j = 2 * i; j < n; j += i) 
    isPrim[j] = false;

这样可以把 i 的整数倍都标记为 false，但是仍然存在计算冗余。

比如 n = 25，i = 4 时算法会标记 4 × 2 = 8，4 × 3 = 12 等等数字，但是这两个数字已经被 i = 2 和 i = 3 的 2 × 4 和 3 × 4 标记了。

我们可以稍微优化一下，让 j 从 i 的平方开始遍历，而不是从 2 * i 开始：

for (int j = i * i; j < n; j += i) 
    isPrim[j] = false;

这样，素数计数的算法就高效实现了，其实这个算法有一个名字，叫做 Sieve of Eratosthenes。看下完整的最终代码：

int countPrimes(int n) {
    boolean[] isPrim = new boolean[n];
    Arrays.fill(isPrim, true);
    for (int i = 2; i * i < n; i++) 
        if (isPrim[i]) 
            for (int j = i * i; j < n; j += i) 
                isPrim[j] = false;

    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrim[i]) count++;

    return count;
}

该算法的时间复杂度比较难算，显然时间跟这两个嵌套的 for 循环有关，其操作数应该是：

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... = n × (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7...)

括号中是素数的倒数。其最终结果是 O(N * loglogN)，有兴趣的读者可以查一下该算法的时间复杂度证明。

以上就是素数算法相关的全部内容。怎么样，是不是看似简单的问题却有不少细节可以打磨呀？