Question

1012. 至少有 1 位重复的数字

English Version

题目描述

给定正整数 n，返回在_ _[1, n]_ _范围内具有 至少 1 位 重复数字的正整数的个数。

 

示例 1：

输入：n = 20
输出：1
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 20）只有 11 。

示例 2：

输入：n = 100
输出：10
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 100）有 11，22，33，44，55，66，77，88，99 和 100 。

示例 3：

输入：n = 1000
输出：262

 

提示：

• 1 <= n <= 109

解法

方法一：状态压缩 + 数位 DP

题目要求统计 $[1,..n]$ 中至少有一位重复的数字的个数，我们可以换一种思路，用一个函数 $f(n)$ 统计 $[1,..n]$ 中没有重复数字的个数，那么答案就是 $n - f(n)$。

另外，我们可以用一个二进制数来记录数字中出现过的数字，比如数字中出现了 $1$, $2$, $4$，那么对应的二进制数就是 $\underline{1}0\underline{1}\underline{1}0$。

接下来，我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

1. 将数字 $n$ 转为整型数组 $nums$，其中 $nums[0]$ 为最低位，而 $nums[i]$ 为最高位；
2. 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, mask, lead, limit)$，其中：

• 参数 $pos$ 表示当前搜索到的数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此 $pos$ 的初始值为数字的高位下标；
• 参数 $mask$ 表示当前数字中出现过的数字；
• 参数 $lead$ 表示当前数字是否仅包含前导零；
• 参数 $limit$ 表示当前可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $i \in [0,1,..9]$，否则，只能选择 $i \in [0,..nums[pos]]$。如果 $limit$ 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 $limit$ 同样为 true；如果 $limit$ 为 true 但是还没有取到最大值，或者 $limit$ 为 false，那么下一个 $limit$ 为 false。

答案为 $dfs(0, 0, true, true)$。

关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。

时间复杂度 $O(m \times 2^m \times 10)$，空间复杂度 $O(m \times 2^m)$。其中 $m$ 为数字 $n$ 的位数。

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class Solution:
  def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
    return n - self.f(n)

  def f(self, n):
    def A(m, n):
      return 1 if n == 0 else A(m, n - 1) * (m - n + 1)

    vis = [False] * 10
    ans = 0
    digits = [int(c) for c in str(n)[::-1]]
    m = len(digits)
    for i in range(1, m):
      ans += 9 * A(9, i - 1)
    for i in range(m - 1, -1, -1):
      v = digits[i]
      j = 1 if i == m - 1 else 0
      while j < v:
        if not vis[j]:
          ans += A(10 - (m - i), i)
        j += 1
      if vis[v]:
        break
      vis[v] = True
      if i == 0:
        ans += 1
    return ans

class Solution {
  public int numDupDigitsAtMostN(int n) {
    return n - f(n);
  }

  public int f(int n) {
    List<Integer> digits = new ArrayList<>();
    while (n != 0) {
      digits.add(n % 10);
      n /= 10;
    }
    int m = digits.size();
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      ans += 9 * A(9, i - 1);
    }
    boolean[] vis = new boolean[10];
    for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
      int v = digits.get(i);
      for (int j = i == m - 1 ? 1 : 0; j < v; ++j) {
        if (vis[j]) {
          continue;
        }
        ans += A(10 - (m - i), i);
      }
      if (vis[v]) {
        break;
      }
      vis[v] = true;
      if (i == 0) {
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }

  private int A(int m, int n) {
    return n == 0 ? 1 : A(m, n - 1) * (m - n + 1);
  }
}

class Solution {
public:
  int numDupDigitsAtMostN(int n) {
    return n - f(n);
  }

  int f(int n) {
    int ans = 0;
    vector<int> digits;
    while (n) {
      digits.push_back(n % 10);
      n /= 10;
    }
    int m = digits.size();
    vector<bool> vis(10);
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      ans += 9 * A(9, i - 1);
    }
    for (int i = m - 1; ~i; --i) {
      int v = digits[i];
      for (int j = i == m - 1 ? 1 : 0; j < v; ++j) {
        if (!vis[j]) {
          ans += A(10 - (m - i), i);
        }
      }
      if (vis[v]) {
        break;
      }
      vis[v] = true;
      if (i == 0) {
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }

  int A(int m, int n) {
    return n == 0 ? 1 : A(m, n - 1) * (m - n + 1);
  }
};

func numDupDigitsAtMostN(n int) int {
  return n - f(n)
}

func f(n int) int {
  digits := []int{}
  for n != 0 {
    digits = append(digits, n%10)
    n /= 10
  }
  m := len(digits)
  vis := make([]bool, 10)
  ans := 0
  for i := 1; i < m; i++ {
    ans += 9 * A(9, i-1)
  }
  for i := m - 1; i >= 0; i-- {
    v := digits[i]
    j := 0
    if i == m-1 {
      j = 1
    }
    for ; j < v; j++ {
      if !vis[j] {
        ans += A(10-(m-i), i)
      }
    }
    if vis[v] {
      break
    }
    vis[v] = true
    if i == 0 {
      ans++
    }
  }
  return ans
}

func A(m, n int) int {
  if n == 0 {
    return 1
  }
  return A(m, n-1) * (m - n + 1)
}

function numDupDigitsAtMostN(n: number): number {
  return n - f(n);
}

function f(n: number): number {
  const nums: number[] = [];
  let i = -1;
  for (; n; n = Math.floor(n / 10)) {
    nums[++i] = n % 10;
  }
  const dp = Array.from({ length: 11 }, () => Array(1 << 11).fill(-1));
  const dfs = (pos: number, mask: number, lead: boolean, limit: boolean): number => {
    if (pos < 0) {
      return lead ? 0 : 1;
    }
    if (!lead && !limit && dp[pos][mask] !== -1) {
      return dp[pos][mask];
    }
    const up = limit ? nums[pos] : 9;
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i <= up; ++i) {
      if ((mask >> i) & 1) {
        continue;
      }
      if (lead && i === 0) {
        ans += dfs(pos - 1, mask, lead, limit && i === up);
      } else {
        ans += dfs(pos - 1, mask | (1 << i), false, limit && i === up);
      }
    }
    if (!lead && !limit) {
      dp[pos][mask] = ans;
    }
    return ans;
  };
  return dfs(i, 0, true, true);
}

方法二

class Solution:
  def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
    return n - self.f(n)

  def f(self, n: int) -> int:
    @cache
    def dfs(pos: int, mask: int, lead: bool, limit: bool) -> int:
      if pos < 0:
        return int(lead) ^ 1
      up = nums[pos] if limit else 9
      ans = 0
      for i in range(up + 1):
        if mask >> i & 1:
          continue
        if i == 0 and lead:
          ans += dfs(pos - 1, mask, lead, limit and i == up)
        else:
          ans += dfs(pos - 1, mask | 1 << i, False, limit and i == up)
      return ans

    nums = []
    while n:
      nums.append(n % 10)
      n //= 10
    return dfs(len(nums) - 1, 0, True, True)

class Solution {
  private int[] nums = new int[11];
  private Integer[][] dp = new Integer[11][1 << 11];

  public int numDupDigitsAtMostN(int n) {
    return n - f(n);
  }

  private int f(int n) {
    int i = -1;
    for (; n > 0; n /= 10) {
      nums[++i] = n % 10;
    }
    return dfs(i, 0, true, true);
  }

  private int dfs(int pos, int mask, boolean lead, boolean limit) {
    if (pos < 0) {
      return lead ? 0 : 1;
    }
    if (!lead && !limit && dp[pos][mask] != null) {
      return dp[pos][mask];
    }
    int ans = 0;
    int up = limit ? nums[pos] : 9;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if ((mask >> i & 1) == 1) {
        continue;
      }
      if (i == 0 && lead) {
        ans += dfs(pos - 1, mask, lead, limit && i == up);
      } else {
        ans += dfs(pos - 1, mask | 1 << i, false, limit && i == up);
      }
    }
    if (!lead && !limit) {
      dp[pos][mask] = ans;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int numDupDigitsAtMostN(int n) {
    return n - f(n);
  }

private:
  int nums[11];
  int dp[11][1 << 11];

  int f(int n) {
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    int i = -1;
    for (; n; n /= 10) {
      nums[++i] = n % 10;
    }
    return dfs(i, 0, true, true);
  }

  int dfs(int pos, int mask, bool lead, bool limit) {
    if (pos < 0) {
      return lead ? 0 : 1;
    }
    if (!lead && !limit && dp[pos][mask] != -1) {
      return dp[pos][mask];
    }
    int up = limit ? nums[pos] : 9;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (mask >> i & 1) {
        continue;
      }
      if (i == 0 && lead) {
        ans += dfs(pos - 1, mask, lead, limit && i == up);
      } else {
        ans += dfs(pos - 1, mask | 1 << i, false, limit && i == up);
      }
    }
    if (!lead && !limit) {
      dp[pos][mask] = ans;
    }
    return ans;
  }
};

func numDupDigitsAtMostN(n int) int {
  return n - f(n)
}

func f(n int) int {
  nums := []int{}
  for ; n > 0; n /= 10 {
    nums = append(nums, n%10)
  }
  dp := [11][1 << 11]int{}
  for i := range dp {
    for j := range dp[i] {
      dp[i][j] = -1
    }
  }
  var dfs func(int, int, bool, bool) int
  dfs = func(pos int, mask int, lead bool, limit bool) int {
    if pos < 0 {
      if lead {
        return 0
      }
      return 1
    }
    if !lead && !limit && dp[pos][mask] != -1 {
      return dp[pos][mask]
    }
    up := 9
    if limit {
      up = nums[pos]
    }
    ans := 0
    for i := 0; i <= up; i++ {
      if mask>>i&1 == 1 {
        continue
      }
      if i == 0 && lead {
        ans += dfs(pos-1, mask, lead, limit && i == up)
      } else {
        ans += dfs(pos-1, mask|1<<i, false, limit && i == up)
      }
    }
    if !lead && !limit {
      dp[pos][mask] = ans
    }
    return ans
  }
  return dfs(len(nums)-1, 0, true, true)
}