Question

810. 黑板异或游戏

English Version

题目描述

黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。

Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字，Alice 先手。如果擦除一个数字后，剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话，当前玩家游戏失败。 另外，如果只剩一个数字，按位异或运算得到它本身；如果无数字剩余，按位异或运算结果为 0。

并且，轮到某个玩家时，如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0 ，这个玩家获胜。

假设两个玩家每步都使用最优解，当且仅当 Alice 获胜时返回 true。

 

示例 1：

输入: nums = [1,1,2]
输出: false
解释: 
Alice 有两个选择: 擦掉数字 1 或 2。
如果擦掉 1, 数组变成 [1, 2]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 2 = 3。那么 Bob 可以擦掉任意数字，因为 Alice 会成为擦掉最后一个数字的人，她总是会输。
如果 Alice 擦掉 2，那么数组变成[1, 1]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 1 = 0。Alice 仍然会输掉游戏。

示例 2:

输入: nums = [0,1]
输出: true

示例 3:

输入: nums = [1,2,3]
输出: true

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] < 216

解法

方法一：位运算

根据游戏规则，轮到某个玩家时，如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果为 $0$，这个玩家获胜。由于 Alice 先手，因此当 nums 中所有数字的异或结果为 $0$ 时，Alice 可以获胜。

当 nums 中所有数字的异或结果不为 $0$ 时，我们不妨考虑从数组 nums 的长度奇偶性来分析 Alice 的获胜情况。

当 nums 的长度为偶数时，如果 Alice 必败，那么只有一种情况，就是 Alice 无论擦掉哪个数字，剩余所有数字的异或结果都等于 $0$。我们来分析一下是否存在这种情况。

假设数组 nums 长度为 $n$，并且 $n$ 是偶数，记所有数字异或结尾为 $S$，则有：

$$ S = nums[0] \oplus nums[1] \oplus \cdots \oplus nums[n-1] \neq 0 $$

我们记 $S_i$ 为数组 nums 擦掉第 $i$ 个数字后的异或结果，那么有：

$$ S_i \oplus nums[i] = S $$

等式两边同时异或 $nums[i]$，得到：

$$ S_i = S \oplus nums[i] $$

如果无论 Alice 擦掉哪个数字，剩余所有数字的异或结果都等于 $0$，那么对所有 $i$，都有 $S_i = 0$，即：

$$ S_0 \oplus S_1 \oplus \cdots \oplus S_{n-1} = 0 $$

我们将 $S_i = S \oplus nums[i]$ 代入上式，得到：

$$ S \oplus nums[0] \oplus S \oplus nums[1] \oplus \cdots \oplus S \oplus nums[n-1] = 0 $$

上式共有 $n$（偶数）个 $S$，而 $nums[0] \oplus nums[1] \oplus \cdots \oplus nums[n-1]$ 也等于 $S$，因此上式等价于 $0 \oplus S = 0$。这与 $S \neq 0$ 矛盾，因此不存在这种情况。因此当 nums 的长度为偶数时，Alice 必胜。

如果长度为奇数，那么 Alice 擦掉一个数字后，剩余数字个数为偶数，也就是将偶数长度的情况留给 Bob，那么 Bob 必胜，也即 Alice 必败。

综上，当 nums 的长度为偶数，或者 nums 中所有数字的异或结果为 $0$ 时，Alice 可以获胜。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 为数组 nums 的长度。

class Solution:
  def xorGame(self, nums: List[int]) -> bool:
    return len(nums) % 2 == 0 or reduce(xor, nums) == 0

class Solution {
  public boolean xorGame(int[] nums) {
    return nums.length % 2 == 0 || Arrays.stream(nums).reduce(0, (a, b) -> a ^ b) == 0;
  }
}

class Solution {
public:
  bool xorGame(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() % 2 == 0) return true;
    int x = 0;
    for (int& v : nums) x ^= v;
    return x == 0;
  }
};

func xorGame(nums []int) bool {
  if len(nums)%2 == 0 {
    return true
  }
  x := 0
  for _, v := range nums {
    x ^= v
  }
  return x == 0
}