Question

2448. 使数组相等的最小开销

English Version

题目描述

给你两个下标从 0 开始的数组 nums 和 cost ，分别包含 n 个 正 整数。

你可以执行下面操作 任意 次：

• 将 nums 中 任意 元素增加或者减小 1 。

对第 i 个元素执行一次操作的开销是 cost[i] 。

请你返回使 nums 中所有元素 相等 的 最少 总开销。

 

示例 1：

输入：nums = [1,3,5,2], cost = [2,3,1,14]
输出：8
解释：我们可以执行以下操作使所有元素变为 2 ：
- 增加第 0 个元素 1 次，开销为 2 。
- 减小第 1 个元素 1 次，开销为 3 。
- 减小第 2 个元素 3 次，开销为 1 + 1 + 1 = 3 。
总开销为 2 + 3 + 3 = 8 。
这是最小开销。

示例 2：

输入：nums = [2,2,2,2,2], cost = [4,2,8,1,3]
输出：0
解释：数组中所有元素已经全部相等，不需要执行额外的操作。

 

提示：

• n == nums.length == cost.length
• 1 <= n <= 105
• 1 <= nums[i], cost[i] <= 106
• 测试用例确保输出不超过 2⁵³-1。

解法

方法一：前缀和 + 排序 + 枚举

我们记数组 nums 所有元素为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，数组 cost 所有元素为 $b_1, b_2, \cdots, b_n$。我们不妨令 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，即数组 nums 升序排列。

假设我们将数组 nums 中的元素全部变为 $x$，那么我们需要的总开销为：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \left | a_i-x \right | b_i &= \sum_{i=1}^{k} (x-a_i)b_i + \sum_{i=k+1}^{n} (a_i-x)b_i \ &= x\sum_{i=1}^{k} b_i - \sum_{i=1}^{k} a_ib_i + \sum_{i=k+1}^{n}a_ib_i - x\sum_{i=k+1}^{n}b_i \end{aligned} $$

其中 $k$ 为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中小于等于 $x$ 的元素个数。

我们可以使用前缀和的方法，计算 $\sum_{i=1}^{k} b_i$ 和 $\sum_{i=1}^{k} a_ib_i$，以及 $\sum_{i=k+1}^{n}a_ib_i$ 和 $\sum_{i=k+1}^{n}b_i$。

然后我们枚举 $x$，计算上述四个前缀和，得到上述的总开销，取其中的最小值即可。

时间复杂度 $O(n\times \log n)$。其中 $n$ 为数组 nums 的长度。主要是排序的时间复杂度。

class Solution:
  def minCost(self, nums: List[int], cost: List[int]) -> int:
    arr = sorted(zip(nums, cost))
    n = len(arr)
    f = [0] * (n + 1)
    g = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
      a, b = arr[i - 1]
      f[i] = f[i - 1] + a * b
      g[i] = g[i - 1] + b
    ans = inf
    for i in range(1, n + 1):
      a = arr[i - 1][0]
      l = a * g[i - 1] - f[i - 1]
      r = f[n] - f[i] - a * (g[n] - g[i])
      ans = min(ans, l + r)
    return ans

class Solution {
  public long minCost(int[] nums, int[] cost) {
    int n = nums.length;
    int[][] arr = new int[n][2];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      arr[i] = new int[] {nums[i], cost[i]};
    }
    Arrays.sort(arr, (a, b) -> a[0] - b[0]);
    long[] f = new long[n + 1];
    long[] g = new long[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      long a = arr[i - 1][0], b = arr[i - 1][1];
      f[i] = f[i - 1] + a * b;
      g[i] = g[i - 1] + b;
    }
    long ans = Long.MAX_VALUE;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      long a = arr[i - 1][0];
      long l = a * g[i - 1] - f[i - 1];
      long r = f[n] - f[i] - a * (g[n] - g[i]);
      ans = Math.min(ans, l + r);
    }
    return ans;
  }
}

using ll = long long;

class Solution {
public:
  long long minCost(vector<int>& nums, vector<int>& cost) {
    int n = nums.size();
    vector<pair<int, int>> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) arr[i] = {nums[i], cost[i]};
    sort(arr.begin(), arr.end());
    vector<ll> f(n + 1), g(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      auto [a, b] = arr[i - 1];
      f[i] = f[i - 1] + 1ll * a * b;
      g[i] = g[i - 1] + b;
    }
    ll ans = 1e18;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      auto [a, _] = arr[i - 1];
      ll l = 1ll * a * g[i - 1] - f[i - 1];
      ll r = f[n] - f[i] - 1ll * a * (g[n] - g[i]);
      ans = min(ans, l + r);
    }
    return ans;
  }
};

func minCost(nums []int, cost []int) int64 {
  n := len(nums)
  type pair struct{ a, b int }
  arr := make([]pair, n)
  for i, a := range nums {
    b := cost[i]
    arr[i] = pair{a, b}
  }
  sort.Slice(arr, func(i, j int) bool { return arr[i].a < arr[j].a })
  f := make([]int, n+1)
  g := make([]int, n+1)
  for i := 1; i <= n; i++ {
    a, b := arr[i-1].a, arr[i-1].b
    f[i] = f[i-1] + a*b
    g[i] = g[i-1] + b
  }
  var ans int64 = 1e18
  for i := 1; i <= n; i++ {
    a := arr[i-1].a
    l := a*g[i-1] - f[i-1]
    r := f[n] - f[i] - a*(g[n]-g[i])
    ans = min(ans, int64(l+r))
  }
  return ans
}

impl Solution {
  #[allow(dead_code)]
  pub fn min_cost(nums: Vec<i32>, cost: Vec<i32>) -> i64 {
    let mut zip_vec: Vec<_> = nums.into_iter().zip(cost.into_iter()).collect();

    // Sort the zip vector based on nums
    zip_vec.sort_by(|lhs, rhs| { lhs.0.cmp(&rhs.0) });

    let (nums, cost): (Vec<i32>, Vec<i32>) = zip_vec.into_iter().unzip();

    let mut sum: i64 = 0;
    for &c in &cost {
      sum += c as i64;
    }
    let middle_cost = (sum + 1) / 2;
    let mut cur_sum: i64 = 0;
    let mut i = 0;
    let n = nums.len();

    while i < n {
      if (cost[i] as i64) + cur_sum >= middle_cost {
        break;
      }
      cur_sum += cost[i] as i64;
      i += 1;
    }

    Self::compute_manhattan_dis(&nums, &cost, nums[i])
  }

  #[allow(dead_code)]
  fn compute_manhattan_dis(v: &Vec<i32>, c: &Vec<i32>, e: i32) -> i64 {
    let mut ret = 0;
    let n = v.len();

    for i in 0..n {
      if v[i] == e {
        continue;
      }
      ret += ((v[i] - e).abs() as i64) * (c[i] as i64);
    }

    ret
  }
}

方法二：排序 + 中位数

我们还可以把 $b_i$ 看作是 $a_i$ 的出现次数，那么中位数下标是 $\frac{\sum_{i=1}^{n} b_i}{2}$。把所有数变成中位数，一定是最优的。

时间复杂度 $O(n\times \log n)$。其中 $n$ 为数组 nums 的长度。主要是排序的时间复杂度。

相似题目：

• 296. 最佳的碰头地点
• 462. 最少移动次数使数组元素相等 II

class Solution:
  def minCost(self, nums: List[int], cost: List[int]) -> int:
    arr = sorted(zip(nums, cost))
    mid = sum(cost) // 2
    s = 0
    for x, c in arr:
      s += c
      if s > mid:
        return sum(abs(v - x) * c for v, c in arr)

class Solution {
  public long minCost(int[] nums, int[] cost) {
    int n = nums.length;
    int[][] arr = new int[n][2];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      arr[i] = new int[] {nums[i], cost[i]};
    }
    Arrays.sort(arr, (a, b) -> a[0] - b[0]);
    long mid = sum(cost) / 2;
    long s = 0, ans = 0;
    for (var e : arr) {
      int x = e[0], c = e[1];
      s += c;
      if (s > mid) {
        for (var t : arr) {
          ans += (long) Math.abs(t[0] - x) * t[1];
        }
        break;
      }
    }
    return ans;
  }

  private long sum(int[] arr) {
    long s = 0;
    for (int v : arr) {
      s += v;
    }
    return s;
  }
}

using ll = long long;

class Solution {
public:
  long long minCost(vector<int>& nums, vector<int>& cost) {
    int n = nums.size();
    vector<pair<int, int>> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) arr[i] = {nums[i], cost[i]};
    sort(arr.begin(), arr.end());
    ll mid = accumulate(cost.begin(), cost.end(), 0ll) / 2;
    ll s = 0, ans = 0;
    for (auto [x, c] : arr) {
      s += c;
      if (s > mid) {
        for (auto [v, d] : arr) {
          ans += 1ll * abs(v - x) * d;
        }
        break;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func minCost(nums []int, cost []int) int64 {
  n := len(nums)
  type pair struct{ a, b int }
  arr := make([]pair, n)
  mid := 0
  for i, a := range nums {
    b := cost[i]
    mid += b
    arr[i] = pair{a, b}
  }
  mid /= 2
  sort.Slice(arr, func(i, j int) bool { return arr[i].a < arr[j].a })
  s, ans := 0, 0
  for _, e := range arr {
    x, c := e.a, e.b
    s += c
    if s > mid {
      for _, t := range arr {
        ans += abs(t.a-x) * t.b
      }
      break
    }
  }
  return int64(ans)

}

func abs(x int) int {
  if x < 0 {
    return -x
  }
  return x
}