Question

2008. 出租车的最大盈利

English Version

题目描述

你驾驶出租车行驶在一条有 n 个地点的路上。这 n 个地点从近到远编号为 1 到 n ，你想要从 1 开到 n ，通过接乘客订单盈利。你只能沿着编号递增的方向前进，不能改变方向。

乘客信息用一个下标从 0 开始的二维数组 rides 表示，其中 rides[i] = [starti, endi, tipi] 表示第 i 位乘客需要从地点 starti 前往 endi ，愿意支付 tipi 元的小费。

每一位 你选择接单的乘客 i ，你可以 盈利 endi - starti + tipi 元。你同时 最多 只能接一个订单。

给你 n 和 rides ，请你返回在最优接单方案下，你能盈利 最多 多少元。

注意：你可以在一个地点放下一位乘客，并在同一个地点接上另一位乘客。

 

示例 1：

输入：n = 5, rides = [_[2,5,4]_,[1,5,1]]
输出：7
解释：我们可以接乘客 0 的订单，获得 5 - 2 + 4 = 7 元。

示例 2：

输入：n = 20, rides = [[1,6,1],_[3,10,2]_,_[10,12,3]_,[11,12,2],[12,15,2],_[13,18,1]_]
输出：20
解释：我们可以接以下乘客的订单：
- 将乘客 1 从地点 3 送往地点 10 ，获得 10 - 3 + 2 = 9 元。
- 将乘客 2 从地点 10 送往地点 12 ，获得 12 - 10 + 3 = 5 元。
- 将乘客 5 从地点 13 送往地点 18 ，获得 18 - 13 + 1 = 6 元。
我们总共获得 9 + 5 + 6 = 20 元。

 

提示：

• 1 <= n <= 105
• 1 <= rides.length <= 3 * 104
• rides[i].length == 3
• 1 <= starti < endi <= n
• 1 <= tipi <= 105

解法

方法一：记忆化搜索 + 二分查找

我们先将 $rides$ 按照$start$ 从小到大排序，然后设计一个函数 $dfs(i)$，表示从第 $i$ 个乘客开始接单，最多能获得的小费。答案即为 $dfs(0)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下：

对于第 $i$ 个乘客，我们可以选择接单，也可以选择不接单。如果不接单，那么最多能获得的小费为 $dfs(i + 1)$；如果接单，那么我们可以通过二分查找，找到在第 $i$ 个乘客下车地点之后遇到的第一个乘客，记为 $j$，那么最多能获得的小费为 $dfs(j) + end_i - start_i + tip_i$。取两者的较大值即可。即：

$$ dfs(i) = \max(dfs(i + 1), dfs(j) + end_i - start_i + tip_i) $$

其中 $j$ 是满足 $start_j \ge end_i$ 的最小的下标，可以通过二分查找得到。

此过程中，我们可以使用记忆化搜索，将每个状态的答案保存下来，避免重复计算。

时间复杂度 $O(m \times \log m)$，空间复杂度 $O(m)$。其中 $m$ 为$rides$ 的长度。

class Solution:
  def maxTaxiEarnings(self, n: int, rides: List[List[int]]) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int) -> int:
      if i >= len(rides):
        return 0
      st, ed, tip = rides[i]
      j = bisect_left(rides, ed, lo=i + 1, key=lambda x: x[0])
      return max(dfs(i + 1), dfs(j) + ed - st + tip)

    rides.sort()
    return dfs(0)

class Solution {
  private int m;
  private int[][] rides;
  private Long[] f;

  public long maxTaxiEarnings(int n, int[][] rides) {
    Arrays.sort(rides, (a, b) -> a[0] - b[0]);
    m = rides.length;
    f = new Long[m];
    this.rides = rides;
    return dfs(0);
  }

  private long dfs(int i) {
    if (i >= m) {
      return 0;
    }
    if (f[i] != null) {
      return f[i];
    }
    int[] r = rides[i];
    int st = r[0], ed = r[1], tip = r[2];
    int j = search(ed, i + 1);
    return f[i] = Math.max(dfs(i + 1), dfs(j) + ed - st + tip);
  }

  private int search(int x, int l) {
    int r = m;
    while (l < r) {
      int mid = (l + r) >> 1;
      if (rides[mid][0] >= x) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return l;
  }
}

class Solution {
public:
  long long maxTaxiEarnings(int n, vector<vector<int>>& rides) {
    sort(rides.begin(), rides.end());
    int m = rides.size();
    long long f[m];
    memset(f, -1, sizeof(f));
    function<long long(int)> dfs = [&](int i) -> long long {
      if (i >= m) {
        return 0;
      }
      if (f[i] != -1) {
        return f[i];
      }
      auto& r = rides[i];
      int st = r[0], ed = r[1], tip = r[2];
      int j = lower_bound(rides.begin() + i + 1, rides.end(), ed, [](auto& a, int val) { return a[0] < val; }) - rides.begin();
      return f[i] = max(dfs(i + 1), dfs(j) + ed - st + tip);
    };
    return dfs(0);
  }
};

func maxTaxiEarnings(n int, rides [][]int) int64 {
  sort.Slice(rides, func(i, j int) bool { return rides[i][0] < rides[j][0] })
  m := len(rides)
  f := make([]int64, m)
  var dfs func(int) int64
  dfs = func(i int) int64 {
    if i >= m {
      return 0
    }
    if f[i] == 0 {
      st, ed, tip := rides[i][0], rides[i][1], rides[i][2]
      j := sort.Search(m, func(j int) bool { return rides[j][0] >= ed })
      f[i] = max(dfs(i+1), int64(ed-st+tip)+dfs(j))
    }
    return f[i]
  }
  return dfs(0)
}

function maxTaxiEarnings(n: number, rides: number[][]): number {
  rides.sort((a, b) => a[0] - b[0]);
  const m = rides.length;
  const f: number[] = Array(m).fill(-1);
  const search = (x: number, l: number): number => {
    let r = m;
    while (l < r) {
      const mid = (l + r) >> 1;
      if (rides[mid][0] >= x) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return l;
  };
  const dfs = (i: number): number => {
    if (i >= m) {
      return 0;
    }
    if (f[i] === -1) {
      const [st, ed, tip] = rides[i];
      const j = search(ed, i + 1);
      f[i] = Math.max(dfs(i + 1), dfs(j) + ed - st + tip);
    }
    return f[i];
  };
  return dfs(0);
}

方法二：动态规划 + 二分查找

我们可以将方法一中的记忆化搜索改为动态规划。

先将 $rides$ 排序，这次我们按照 $end$ 从小到大排序。然后定义 $f[i]$，表示前 $i$ 个乘客中，最多能获得的小费。初始时 $f[0] = 0$，答案为 $f[m]$。

对于第 $i$ 个乘客，我们可以选择接单，也可以选择不接单。如果不接单，那么最多能获得的小费为 $f[i-1]$；如果接单，我们可以通过二分查找，找到在第 $i$ 个乘客上车地点之前，最后一个下车地点不大于 $start_i$ 的乘客，记为 $j$，那么最多能获得的小费为 $f[j] + end_i - start_i + tip_i$。取两者的较大值即可。即：

$$ f[i] = \max(f[i - 1], f[j] + end_i - start_i + tip_i) $$

其中 $j$ 是满足 $end_j \le start_i$ 的最大的下标，可以通过二分查找得到。

时间复杂度 $O(m \times \log m)$，空间复杂度 $O(m)$。其中 $m$ 为$rides$ 的长度。

相似题目：

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class Solution:
  def maxTaxiEarnings(self, n: int, rides: List[List[int]]) -> int:
    rides.sort(key=lambda x: x[1])
    f = [0] * (len(rides) + 1)
    for i, (st, ed, tip) in enumerate(rides, 1):
      j = bisect_left(rides, st + 1, hi=i, key=lambda x: x[1])
      f[i] = max(f[i - 1], f[j] + ed - st + tip)
    return f[-1]

class Solution {
  public long maxTaxiEarnings(int n, int[][] rides) {
    Arrays.sort(rides, (a, b) -> a[1] - b[1]);
    int m = rides.length;
    long[] f = new long[m + 1];
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      int[] r = rides[i - 1];
      int st = r[0], ed = r[1], tip = r[2];
      int j = search(rides, st + 1, i);
      f[i] = Math.max(f[i - 1], f[j] + ed - st + tip);
    }
    return f[m];
  }

  private int search(int[][] nums, int x, int r) {
    int l = 0;
    while (l < r) {
      int mid = (l + r) >> 1;
      if (nums[mid][1] >= x) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return l;
  }
}

class Solution {
public:
  long long maxTaxiEarnings(int n, vector<vector<int>>& rides) {
    sort(rides.begin(), rides.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) { return a[1] < b[1]; });
    int m = rides.size();
    vector<long long> f(m + 1);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      auto& r = rides[i - 1];
      int st = r[0], ed = r[1], tip = r[2];
      auto it = lower_bound(rides.begin(), rides.begin() + i, st + 1, [](auto& a, int val) { return a[1] < val; });
      int j = distance(rides.begin(), it);
      f[i] = max(f[i - 1], f[j] + ed - st + tip);
    }
    return f.back();
  }
};

func maxTaxiEarnings(n int, rides [][]int) int64 {
  sort.Slice(rides, func(i, j int) bool { return rides[i][1] < rides[j][1] })
  m := len(rides)
  f := make([]int64, m+1)
  for i := 1; i <= m; i++ {
    r := rides[i-1]
    st, ed, tip := r[0], r[1], r[2]
    j := sort.Search(m, func(j int) bool { return rides[j][1] >= st+1 })
    f[i] = max(f[i-1], f[j]+int64(ed-st+tip))
  }
  return f[m]
}

function maxTaxiEarnings(n: number, rides: number[][]): number {
  rides.sort((a, b) => a[1] - b[1]);
  const m = rides.length;
  const f: number[] = Array(m + 1).fill(0);
  const search = (x: number, r: number): number => {
    let l = 0;
    while (l < r) {
      const mid = (l + r) >> 1;
      if (rides[mid][1] >= x) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return l;
  };
  for (let i = 1; i <= m; ++i) {
    const [st, ed, tip] = rides[i - 1];
    const j = search(st + 1, i);
    f[i] = Math.max(f[i - 1], f[j] + ed - st + tip);
  }
  return f[m];
}