Question

3012. 通过操作使数组长度最小

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它只包含 正 整数。

你的任务是通过进行以下操作 任意次 （可以是 0 次） 最小化 nums 的长度：

• 在 nums 中选择 两个不同 的下标 i 和 j ，满足 nums[i] > 0 且 nums[j] > 0 。
• 将结果 nums[i] % nums[j] 插入 nums 的结尾。
• 将 nums 中下标为 i 和 j 的元素删除。

请你返回一个整数，它表示进行任意次操作以后_ _nums 的 最小长度 。

 

示例 1：

输入：nums = [1,4,3,1]
输出：1
解释：使数组长度最小的一种方法是：
操作 1 ：选择下标 2 和 1 ，插入 nums[2] % nums[1] 到数组末尾，得到 [1,4,3,1,3] ，然后删除下标为 2 和 1 的元素。
nums 变为 [1,1,3] 。
操作 2 ：选择下标 1 和 2 ，插入 nums[1] % nums[2] 到数组末尾，得到 [1,1,3,1] ，然后删除下标为 1 和 2 的元素。
nums 变为 [1,1] 。
操作 3 ：选择下标 1 和 0 ，插入 nums[1] % nums[0] 到数组末尾，得到 [1,1,0] ，然后删除下标为 1 和 0 的元素。
nums 变为 [0] 。
nums 的长度无法进一步减小，所以答案为 1 。
1 是可以得到的最小长度。

示例 2：

输入：nums = [5,5,5,10,5]
输出：2
解释：使数组长度最小的一种方法是：
操作 1 ：选择下标 0 和 3 ，插入 nums[0] % nums[3] 到数组末尾，得到 [5,5,5,10,5,5] ，然后删除下标为 0 和 3 的元素。
nums 变为 [5,5,5,5] 。
操作 2 ：选择下标 2 和 3 ，插入 nums[2] % nums[3] 到数组末尾，得到 [5,5,5,5,0] ，然后删除下标为 2 和 3 的元素。
nums 变为 [5,5,0] 。
操作 3 ：选择下标 0 和 1 ，插入 nums[0] % nums[1] 到数组末尾，得到 [5,5,0,0] ，然后删除下标为 0 和 1 的元素。
nums 变为 [0,0] 。
nums 的长度无法进一步减小，所以答案为 2 。
2 是可以得到的最小长度。

示例 3：

输入：nums = [2,3,4]
输出：1
解释：使数组长度最小的一种方法是：
操作 1 ：选择下标 1 和 2 ，插入 nums[1] % nums[2] 到数组末尾，得到 [2,3,4,3] ，然后删除下标为 1 和 2 的元素。
nums 变为 [2,3] 。
操作 2 ：选择下标 1 和 0 ，插入 nums[1] % nums[0] 到数组末尾，得到 [2,3,1] ，然后删除下标为 1 和 0 的元素。
nums 变为 [1] 。
nums 的长度无法进一步减小，所以答案为 1 。
1 是可以得到的最小长度。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 109

解法

方法一：分情况讨论

我们不妨记数组 $nums$ 的最小的元素为 $mi$。

如果 $mi$ 只出现一次，那么我们将 $mi$ 与数组 $nums$ 的其他元素进行操作，可以将其他元素全部消去，最终剩下 $mi$ 一个元素，答案为 $1$。

如果 $mi$ 出现多次，我们判断数组 $nums$ 中的元素是否都是 $mi$ 的倍数。如果不是，即存在至少一个元素 $x$，使得 $0 \lt x \bmod mi \lt mi$，说明我们可以通过操作，构造出一个小于 $mi$ 的元素，那么这个小于 $mi$ 的元素与其他元素进行操作，可以将其他元素全部消去，最终剩下这个小于 $mi$ 的元素，答案为 $1$；如果都是 $mi$ 的倍数，我们可以先借助 $mi$，将所有大于 $mi$ 的元素消去，最终剩下的元素都是 $mi$，个数为 $cnt$，两两配对，每两个元素进行一次操作，最终剩下 $\lceil cnt / 2 \rceil$ 个元素，答案为 $\lceil cnt / 2 \rceil$。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def minimumArrayLength(self, nums: List[int]) -> int:
    mi = min(nums)
    if any(x % mi for x in nums):
      return 1
    return (nums.count(mi) + 1) // 2

class Solution {
  public int minimumArrayLength(int[] nums) {
    int mi = Arrays.stream(nums).min().getAsInt();
    int cnt = 0;
    for (int x : nums) {
      if (x % mi != 0) {
        return 1;
      }
      if (x == mi) {
        ++cnt;
      }
    }
    return (cnt + 1) / 2;
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumArrayLength(vector<int>& nums) {
    int mi = *min_element(nums.begin(), nums.end());
    int cnt = 0;
    for (int x : nums) {
      if (x % mi) {
        return 1;
      }
      cnt += x == mi;
    }
    return (cnt + 1) / 2;
  }
};

func minimumArrayLength(nums []int) int {
  mi := slices.Min(nums)
  cnt := 0
  for _, x := range nums {
    if x%mi != 0 {
      return 1
    }
    if x == mi {
      cnt++
    }
  }
  return (cnt + 1) / 2
}

function minimumArrayLength(nums: number[]): number {
  const mi = Math.min(...nums);
  let cnt = 0;
  for (const x of nums) {
    if (x % mi) {
      return 1;
    }
    if (x === mi) {
      ++cnt;
    }
  }
  return (cnt + 1) >> 1;
}