Question

1971. 寻找图中是否存在路径

English Version

题目描述

有一个具有 n 个顶点的 双向 图，其中每个顶点标记从 0 到 n - 1（包含 0 和 n - 1）。图中的边用一个二维整数数组 edges 表示，其中 edges[i] = [ui, vi] 表示顶点 ui 和顶点 vi 之间的双向边。 每个顶点对由 最多一条 边连接，并且没有顶点存在与自身相连的边。

请你确定是否存在从顶点 source 开始，到顶点 destination 结束的 有效路径 。

给你数组 edges 和整数 n、source 和 destination，如果从 source 到 destination 存在 有效路径 ，则返回 true，否则返回 false 。

 

示例 1：

输入：n = 3, edges = [[0,1],[1,2],[2,0]], source = 0, destination = 2
输出：true
解释：存在由顶点 0 到顶点 2 的路径:
- 0 → 1 → 2 
- 0 → 2

示例 2：

输入：n = 6, edges = [[0,1],[0,2],[3,5],[5,4],[4,3]], source = 0, destination = 5
输出：false
解释：不存在由顶点 0 到顶点 5 的路径.

 

提示：

• 1 <= n <= 2 * 105
• 0 <= edges.length <= 2 * 105
• edges[i].length == 2
• 0 <= ui, vi <= n - 1
• ui != vi
• 0 <= source, destination <= n - 1
• 不存在重复边
• 不存在指向顶点自身的边

解法

方法一：DFS

我们先将 edges 转换成邻接表 $g$，然后使用 DFS，判断是否存在从 source 到 destination 的路径。

过程中，我们用数组 vis 记录已经访问过的顶点，避免重复访问。

时间复杂度 $O(n + m)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别是节点数和边数。

class Solution:
  def validPath(
    self, n: int, edges: List[List[int]], source: int, destination: int
  ) -> bool:
    def dfs(i):
      if i == destination:
        return True
      vis.add(i)
      for j in g[i]:
        if j not in vis and dfs(j):
          return True
      return False

    g = defaultdict(list)
    for a, b in edges:
      g[a].append(b)
      g[b].append(a)
    vis = set()
    return dfs(source)

class Solution {
  private boolean[] vis;
  private List<Integer>[] g;

  public boolean validPath(int n, int[][] edges, int source, int destination) {
    vis = new boolean[n];
    g = new List[n];
    Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
    for (var e : edges) {
      int a = e[0], b = e[1];
      g[a].add(b);
      g[b].add(a);
    }
    return dfs(source, destination);
  }

  private boolean dfs(int source, int destination) {
    if (source == destination) {
      return true;
    }
    vis[source] = true;
    for (int nxt : g[source]) {
      if (!vis[nxt] && dfs(nxt, destination)) {
        return true;
      }
    }
    return false;
  }
}

class Solution {
public:
  bool validPath(int n, vector<vector<int>>& edges, int source, int destination) {
    vector<bool> vis(n);
    vector<vector<int>> g(n);
    for (auto& e : edges) {
      int a = e[0], b = e[1];
      g[a].emplace_back(b);
      g[b].emplace_back(a);
    }
    function<bool(int)> dfs = [&](int i) -> bool {
      if (i == destination) return true;
      vis[i] = true;
      for (int& j : g[i]) {
        if (!vis[j] && dfs(j)) {
          return true;
        }
      }
      return false;
    };
    return dfs(source);
  }
};

func validPath(n int, edges [][]int, source int, destination int) bool {
  vis := make([]bool, n)
  g := make([][]int, n)
  for _, e := range edges {
    a, b := e[0], e[1]
    g[a] = append(g[a], b)
    g[b] = append(g[b], a)
  }
  var dfs func(int) bool
  dfs = func(i int) bool {
    if i == destination {
      return true
    }
    vis[i] = true
    for _, j := range g[i] {
      if !vis[j] && dfs(j) {
        return true
      }
    }
    return false
  }
  return dfs(source)
}

impl Solution {
  pub fn valid_path(n: i32, edges: Vec<Vec<i32>>, source: i32, destination: i32) -> bool {
    let mut disjoint_set: Vec<i32> = vec![0; n as usize];
    // Initialize the set
    for i in 0..n {
      disjoint_set[i as usize] = i;
    }

    // Traverse the edges
    for p_vec in &edges {
      let parent_one = Solution::find(p_vec[0], &mut disjoint_set);
      let parent_two = Solution::find(p_vec[1], &mut disjoint_set);
      disjoint_set[parent_one as usize] = parent_two;
    }

    let p_s = Solution::find(source, &mut disjoint_set);
    let p_d = Solution::find(destination, &mut disjoint_set);

    p_s == p_d
  }

  pub fn find(x: i32, d_set: &mut Vec<i32>) -> i32 {
    if d_set[x as usize] != x {
      d_set[x as usize] = Solution::find(d_set[x as usize], d_set);
    }
    d_set[x as usize]
  }
}

方法二：并查集

判断图中两个节点是否连通，一种比较简单直接的方法是使用并查集。

先构建并查集，然后将每条边的两个节点合并。

最后查询 source 和 destination 的祖宗节点是否相同，相同则说明两个节点连通。

时间复杂度 $O(n + m \times \alpha(m))$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是节点数和边数。

附并查集相关介绍以及常用模板：

并查集是一种树形的数据结构，顾名思义，它用于处理一些不交集的合并及查询问题。 它支持两种操作：

1. 查找（Find）：确定某个元素处于哪个子集，单次操作时间复杂度 $O(\alpha(n))$
2. 合并（Union）：将两个子集合并成一个集合，单次操作时间复杂度 $O(\alpha(n))$

其中 $\alpha$ 为阿克曼函数的反函数，其增长极其缓慢，也就是说其单次操作的平均运行时间可以认为是一个很小的常数。

以下是并查集的常用模板，需要熟练掌握。其中：

• n 表示节点数
• p 存储每个点的父节点，初始时每个点的父节点都是自己
• size 只有当节点是祖宗节点时才有意义，表示祖宗节点所在集合中，点的数量
• find(x) 函数用于查找 $x$ 所在集合的祖宗节点
• union(a, b) 函数用于合并 $a$ 和 $b$ 所在的集合

```python [sol1-Python3 模板] p = list(range(n)) size = [1] * n

def find(x): if p[x] != x: # 路径压缩 p[x] = find(p[x]) return p[x]

def union(a, b): pa, pb = find(a), find(b) if pa == pb: return p[pa] = pb size[pb] += size[pa]

java [sol1-Java 模板] int[] p = new int[n]; int[] size = new int[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) { p[i] = i; size[i] = 1; }

int find(int x) { if (p[x] != x) { // 路径压缩 p[x] = find(p[x]); } return p[x]; }

void union(int a, int b) { int pa = find(a), pb = find(b); if (pa == pb) { return; } p[pa] = pb; size[pb] += size[pa]; }

cpp [sol1-C++ 模板] vector p(n); iota(p.begin(), p.end(), 0); vector size(n, 1);

int find(int x) { if (p[x] != x) { // 路径压缩 p[x] = find(p[x]); } return p[x]; }

void unite(int a, int b) { int pa = find(a), pb = find(b); if (pa == pb) return; p[pa] = pb; size[pb] += size[pa]; }

go [sol1-Go 模板] p := make([]int, n) size := make([]int, n) for i := range p { p[i] = i size[i] = 1 }

func find(x int) int { if p[x] != x { // 路径压缩 p[x] = find(p[x]) } return p[x] }

func union(a, b int) { pa, pb := find(a), find(b) if pa == pb { return } p[pa] = pb size[pb] += size[pa] }

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python class Solution: def validPath( self, n: int, edges: List[List[int]], source: int, destination: int ) -> bool: def find(x): if p[x] != x: p[x] = find(p[x]) return p[x]

  p = list(range(n))
  for u, v in edges:
    p[find(u)] = find(v)
  return find(source) == find(destination)

java class Solution { private int[] p;

public boolean validPath(int n, int[][] edges, int source, int destination) {
  p = new int[n];
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    p[i] = i;
  }
  for (int[] e : edges) {
    p[find(e[0])] = find(e[1]);
  }
  return find(source) == find(destination);
}

private int find(int x) {
  if (p[x] != x) {
    p[x] = find(p[x]);
  }
  return p[x];
}

}

cpp class Solution { public: bool validPath(int n, vector>& edges, int source, int destination) { vector p(n); iota(p.begin(), p.end(), 0); function find = [&](int x) -> int { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; }; for (auto& e : edges) p[find(e[0])] = find(e[1]); return find(source) == find(destination); } };

go func validPath(n int, edges [][]int, source int, destination int) bool { p := make([]int, n) for i := range p { p[i] = i } var find func(x int) int find = func(x int) int { if p[x] != x { p[x] = find(p[x]) } return p[x] } for _, e := range edges { p[find(e[0])] = find(e[1]) } return find(source) == find(destination) } ```