Question

2387. 行排序矩阵的中位数

English Version

题目描述

给定一个包含 奇数 个整数的 m x n 矩阵 grid，其中每一行按 非递减 的顺序排序，返回矩阵的 中位数。

你必须以 O(m * log(n)) 的时间复杂度来解决这个问题。

 

示例 1:

输入: grid = [[1,1,2],[2,3,3],[1,3,4]]
输出: 2
解释: 矩阵的元素按顺序排列为 1,1,1,2,2,3,3,3,4。中位数是 2。

示例 2:

输入: grid = [[1,1,3,3,4]]
输出: 3
解释: 矩阵的元素按顺序排列为 1,1,3,3,4。中位数是 3。

 

提示:

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 500
• m 和 n 都是奇数。
• 1 <= grid[i][j] <= 106
• grid[i] 按非递减顺序排序

解法

方法一：两次二分查找

中位数实际上是排序后第 $target = \left \lceil \frac{m\times n}{2} \right \rceil$ 个数。

我们二分枚举矩阵的元素 $x$，统计网格中大于该元素的个数 $cnt$，如果 $cnt \ge target$，说明中位数在 $x$ 的左侧（包含 $x$），否则在右侧。

时间复杂度 $O(m\times \log n \times log M)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为网格的行数和列数；而 $M$ 为网格中的最大元素。

class Solution:
  def matrixMedian(self, grid: List[List[int]]) -> int:
    def count(x):
      return sum(bisect_right(row, x) for row in grid)

    m, n = len(grid), len(grid[0])
    target = (m * n + 1) >> 1
    return bisect_left(range(10**6 + 1), target, key=count)

class Solution {
  private int[][] grid;

  public int matrixMedian(int[][] grid) {
    this.grid = grid;
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    int target = (m * n + 1) >> 1;
    int left = 0, right = 1000010;
    while (left < right) {
      int mid = (left + right) >> 1;
      if (count(mid) >= target) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return left;
  }

  private int count(int x) {
    int cnt = 0;
    for (var row : grid) {
      int left = 0, right = row.length;
      while (left < right) {
        int mid = (left + right) >> 1;
        if (row[mid] > x) {
          right = mid;
        } else {
          left = mid + 1;
        }
      }
      cnt += left;
    }
    return cnt;
  }
}

class Solution {
public:
  int matrixMedian(vector<vector<int>>& grid) {
    int m = grid.size(), n = grid[0].size();
    int left = 0, right = 1e6 + 1;
    int target = (m * n + 1) >> 1;
    auto count = [&](int x) {
      int cnt = 0;
      for (auto& row : grid) {
        cnt += (upper_bound(row.begin(), row.end(), x) - row.begin());
      }
      return cnt;
    };
    while (left < right) {
      int mid = (left + right) >> 1;
      if (count(mid) >= target) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return left;
  }
};

func matrixMedian(grid [][]int) int {
  m, n := len(grid), len(grid[0])

  count := func(x int) int {
    cnt := 0
    for _, row := range grid {
      left, right := 0, n
      for left < right {
        mid := (left + right) >> 1
        if row[mid] > x {
          right = mid
        } else {
          left = mid + 1
        }
      }
      cnt += left
    }
    return cnt
  }
  left, right := 0, 1000010
  target := (m*n + 1) >> 1
  for left < right {
    mid := (left + right) >> 1
    if count(mid) >= target {
      right = mid
    } else {
      left = mid + 1
    }
  }
  return left
}