Question

1977. 划分数字的方案数

English Version

题目描述

你写下了若干 正整数 ，并将它们连接成了一个字符串 num 。但是你忘记给这些数字之间加逗号了。你只记得这一列数字是 非递减 的且 没有 任何数字有前导 0 。

请你返回有多少种可能的 正整数数组 可以得到字符串 num 。由于答案可能很大，将结果对 109 + 7 取余 后返回。

 

示例 1：

输入：num = "327"
输出：2
解释：以下为可能的方案：
3, 27
327

示例 2：

输入：num = "094"
输出：0
解释：不能有数字有前导 0 ，且所有数字均为正数。

示例 3：

输入：num = "0"
输出：0
解释：不能有数字有前导 0 ，且所有数字均为正数。

示例 4：

输入：num = "9999999999999"
输出：101

 

提示：

• 1 <= num.length <= 3500
• num 只含有数字 '0' 到 '9' 。

解法

方法一：动态规划 + 前缀和

定义 $dp[i][j]$ 表示字符串 num 的前 $i$ 个字符，且最后一个数字的长度为 $j$ 时的方案数。显然答案为 $\sum_{j=0}^{n} dp[n][j]$。初始值 $dp[0][0] = 1$。

对于 $dp[i][j]$，对应的上一个数的结尾应该是 $i-j$，我们可以枚举 $dp[i-j][k]$，其中 $k\le j$。对于 $k \lt j$ 的部分，即长度小于 $j$ 的方案数可以直接加给 $dp[i][j]$，即 $dp[i][j] = \sum_{k=0}^{j-1} dp[i-j][k]$。因为前一个数字更短，也就意味着它比当前数更小。这里可以用前缀和优化。

但是当 $k=j$ 时，我们需要判断同样长度的两个数字的大小关系。如果前一个数字比当前数字大，那么这种情况是不合法的，我们不应该将其加给 $dp[i][j]$。否则，我们可以将其加给 $dp[i][j]$。这里我们可以先用 $O(n^2)$ 的时间预处理得到“最长公共前缀”，然后用 $O(1)$ 的时间判断两个同样长度的数字的大小关系。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为字符串 num 的长度。

class Solution:
  def numberOfCombinations(self, num: str) -> int:
    def cmp(i, j, k):
      x = lcp[i][j]
      return x >= k or num[i + x] >= num[j + x]

    mod = 10**9 + 7
    n = len(num)
    lcp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      for j in range(n - 1, -1, -1):
        if num[i] == num[j]:
          lcp[i][j] = 1 + lcp[i + 1][j + 1]

    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
      for j in range(1, i + 1):
        v = 0
        if num[i - j] != '0':
          if i - j - j >= 0 and cmp(i - j, i - j - j, j):
            v = dp[i - j][j]
          else:
            v = dp[i - j][min(j - 1, i - j)]
        dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + v) % mod
    return dp[n][n]

class Solution {
  private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

  public int numberOfCombinations(String num) {
    int n = num.length();
    int[][] lcp = new int[n + 1][n + 1];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
        if (num.charAt(i) == num.charAt(j)) {
          lcp[i][j] = 1 + lcp[i + 1][j + 1];
        }
      }
    }
    int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        int v = 0;
        if (num.charAt(i - j) != '0') {
          if (i - j - j >= 0) {
            int x = lcp[i - j][i - j - j];
            if (x >= j || num.charAt(i - j + x) >= num.charAt(i - j - j + x)) {
              v = dp[i - j][j];
            }
          }
          if (v == 0) {
            v = dp[i - j][Math.min(j - 1, i - j)];
          }
        }
        dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + v) % MOD;
      }
    }
    return dp[n][n];
  }
}

class Solution {
public:
  const int mod = 1e9 + 7;

  int numberOfCombinations(string num) {
    int n = num.size();
    vector<vector<int>> lcp(n + 1, vector<int>(n + 1));
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
        if (num[i] == num[j]) {
          lcp[i][j] = 1 + lcp[i + 1][j + 1];
        }
      }
    }
    auto cmp = [&](int i, int j, int k) {
      int x = lcp[i][j];
      return x >= k || num[i + x] >= num[j + x];
    };
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        int v = 0;
        if (num[i - j] != '0') {
          if (i - j - j >= 0 && cmp(i - j, i - j - j, j)) {
            v = dp[i - j][j];
          } else {
            v = dp[i - j][min(j - 1, i - j)];
          }
        }
        dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + v) % mod;
      }
    }
    return dp[n][n];
  }
};

func numberOfCombinations(num string) int {
  n := len(num)
  lcp := make([][]int, n+1)
  dp := make([][]int, n+1)
  for i := range lcp {
    lcp[i] = make([]int, n+1)
    dp[i] = make([]int, n+1)
  }
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    for j := n - 1; j >= 0; j-- {
      if num[i] == num[j] {
        lcp[i][j] = 1 + lcp[i+1][j+1]
      }
    }
  }
  cmp := func(i, j, k int) bool {
    x := lcp[i][j]
    return x >= k || num[i+x] >= num[j+x]
  }
  dp[0][0] = 1
  var mod int = 1e9 + 7
  for i := 1; i <= n; i++ {
    for j := 1; j <= i; j++ {
      v := 0
      if num[i-j] != '0' {
        if i-j-j >= 0 && cmp(i-j, i-j-j, j) {
          v = dp[i-j][j]
        } else {
          v = dp[i-j][min(j-1, i-j)]
        }
      }
      dp[i][j] = (dp[i][j-1] + v) % mod
    }
  }
  return dp[n][n]
}