Question

2369. 检查数组是否存在有效划分

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，你必须将数组划分为一个或多个 连续 子数组。

如果获得的这些子数组中每个都能满足下述条件 之一 ，则可以称其为数组的一种 有效 划分：

1. 子数组 恰 由 2 个相等元素组成，例如，子数组 [2,2] 。
2. 子数组 恰 由 3 个相等元素组成，例如，子数组 [4,4,4] 。
3. 子数组 恰 由 3 个连续递增元素组成，并且相邻元素之间的差值为 1 。例如，子数组 [3,4,5] ，但是子数组 [1,3,5] 不符合要求。

如果数组 至少 存在一种有效划分，返回 true_ _，否则，返回 false 。

 

示例 1：

输入：nums = [4,4,4,5,6]
输出：true
解释：数组可以划分成子数组 [4,4] 和 [4,5,6] 。
这是一种有效划分，所以返回 true 。

示例 2：

输入：nums = [1,1,1,2]
输出：false
解释：该数组不存在有效划分。

 

提示：

• 2 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 106

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示从下标 $i$ 开始是否存在一种有效划分。那么答案就是 $dfs(0)$。

函数 $dfs(i)$ 的执行过程如下：

• 如果 $i \ge n$，返回 $true$。
• 如果 $i$ 和 $i+1$ 下标的元素相等，那么可以选择将 $i$ 和 $i+1$ 作为一个子数组，递归调用 $dfs(i+2)$。
• 如果 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 下标的元素相等，那么可以选择将 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 作为一个子数组，递归调用 $dfs(i+3)$。
• 如果 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 下标的元素依次递增 $1$，那么可以选择将 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 作为一个子数组，递归调用 $dfs(i+3)$。
• 如果上述情况都不满足，返回 $false$，否则返回 $true$。

即：

$$ dfs(i) = \text{OR} \begin{cases} true,&i \ge n\ dfs(i+2),&i+1 < n\ \text{and}\ \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1]\ dfs(i+3),&i+2 < n\ \text{and}\ \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1] = \textit{nums}[i+2]\ dfs(i+3),&i+2 < n\ \text{and}\ \textit{nums}[i+1] - \textit{nums}[i] = 1\ \text{and}\ \textit{nums}[i+2] - \textit{nums}[i+1] = 1 \end{cases} $$

为了避免重复计算，我们使用记忆化搜索的方法。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组的长度。

class Solution:
  def validPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
    @cache
    def dfs(i: int) -> bool:
      if i >= n:
        return True
      a = i + 1 < n and nums[i] == nums[i + 1]
      b = i + 2 < n and nums[i] == nums[i + 1] == nums[i + 2]
      c = (
        i + 2 < n
        and nums[i + 1] - nums[i] == 1
        and nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1
      )
      return (a and dfs(i + 2)) or ((b or c) and dfs(i + 3))

    n = len(nums)
    return dfs(0)

class Solution {
  private int n;
  private int[] nums;
  private Boolean[] f;

  public boolean validPartition(int[] nums) {
    n = nums.length;
    this.nums = nums;
    f = new Boolean[n];
    return dfs(0);
  }

  private boolean dfs(int i) {
    if (i >= n) {
      return true;
    }
    if (f[i] != null) {
      return f[i];
    }
    boolean a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
    boolean b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
    boolean c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
    return f[i] = ((a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3)));
  }
}

class Solution {
public:
  bool validPartition(vector<int>& nums) {
    n = nums.size();
    this->nums = nums;
    f.assign(n, -1);
    return dfs(0);
  }

private:
  int n;
  vector<int> f;
  vector<int> nums;

  bool dfs(int i) {
    if (i >= n) {
      return true;
    }
    if (f[i] != -1) {
      return f[i] == 1;
    }
    bool a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
    bool b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
    bool c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
    f[i] = ((a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3))) ? 1 : 0;
    return f[i] == 1;
  }
};

func validPartition(nums []int) bool {
  n := len(nums)
  f := make([]int, n)
  for i := range f {
    f[i] = -1
  }
  var dfs func(int) bool
  dfs = func(i int) bool {
    if i == n {
      return true
    }
    if f[i] != -1 {
      return f[i] == 1
    }
    a := i+1 < n && nums[i] == nums[i+1]
    b := i+2 < n && nums[i] == nums[i+1] && nums[i+1] == nums[i+2]
    c := i+2 < n && nums[i+1]-nums[i] == 1 && nums[i+2]-nums[i+1] == 1
    f[i] = 0
    if a && dfs(i+2) || b && dfs(i+3) || c && dfs(i+3) {
      f[i] = 1
    }
    return f[i] == 1
  }
  return dfs(0)
}

function validPartition(nums: number[]): boolean {
  const n = nums.length;
  const f: number[] = Array(n).fill(-1);
  const dfs = (i: number): boolean => {
    if (i >= n) {
      return true;
    }
    if (f[i] !== -1) {
      return f[i] === 1;
    }
    const a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
    const b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
    const c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
    f[i] = (a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3)) ? 1 : 0;
    return f[i] == 1;
  };
  return dfs(0);
}

方法二：动态规划

我们可以将方法一中的记忆化搜索转换为动态规划。

设 $f[i]$ 表示数组的前 $i$ 个元素是否存在一种有效划分，初始时 $f[0] = true$，答案就是 $f[n]$。

状态转移方程如下：

$$ f[i] = \text{OR} \begin{cases} true,&i = 0\ f[i-2],&i-2 \ge 0\ \text{and}\ \textit{nums}[i-1] = \textit{nums}[i-2]\ f[i-3],&i-3 \ge 0\ \text{and}\ \textit{nums}[i-1] = \textit{nums}[i-2] = \textit{nums}[i-3]\ f[i-3],&i-3 \ge 0\ \text{and}\ \textit{nums}[i-1] - \textit{nums}[i-2] = 1\ \text{and}\ \textit{nums}[i-2] - \textit{nums}[i-3] = 1 \end{cases} $$

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组的长度。

class Solution:
  def validPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
    n = len(nums)
    f = [True] + [False] * n
    for i, x in enumerate(nums, 1):
      a = i - 2 >= 0 and nums[i - 2] == x
      b = i - 3 >= 0 and nums[i - 3] == nums[i - 2] == x
      c = i - 3 >= 0 and x - nums[i - 2] == 1 and nums[i - 2] - nums[i - 3] == 1
      f[i] = (a and f[i - 2]) or ((b or c) and f[i - 3])
    return f[n]

class Solution {
  public boolean validPartition(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    boolean[] f = new boolean[n + 1];
    f[0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      boolean a = i - 2 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2];
      boolean b = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2] && nums[i - 2] == nums[i - 3];
      boolean c
        = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] - nums[i - 2] == 1 && nums[i - 2] - nums[i - 3] == 1;
      f[i] = (a && f[i - 2]) || ((b || c) && f[i - 3]);
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  bool validPartition(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<bool> f(n + 1);
    f[0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      bool a = i - 2 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2];
      bool b = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2] && nums[i - 2] == nums[i - 3];
      bool c = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] - nums[i - 2] == 1 && nums[i - 2] - nums[i - 3] == 1;
      f[i] = (a && f[i - 2]) || ((b || c) && f[i - 3]);
    }
    return f[n];
  }
};

func validPartition(nums []int) bool {
  n := len(nums)
  f := make([]bool, n+1)
  f[0] = true
  for i := 1; i <= n; i++ {
    x := nums[i-1]
    a := i-2 >= 0 && nums[i-2] == x
    b := i-3 >= 0 && nums[i-3] == nums[i-2] && nums[i-2] == x
    c := i-3 >= 0 && x-nums[i-2] == 1 && nums[i-2]-nums[i-3] == 1
    f[i] = (a && f[i-2]) || ((b || c) && f[i-3])
  }
  return f[n]
}

function validPartition(nums: number[]): boolean {
  const n = nums.length;
  const f: boolean[] = Array(n + 1).fill(false);
  f[0] = true;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    const a = i - 2 >= 0 && nums[i - 1] === nums[i - 2];
    const b = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] === nums[i - 2] && nums[i - 2] === nums[i - 3];
    const c = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] - nums[i - 2] === 1 && nums[i - 2] - nums[i - 3] === 1;
    f[i] = (a && f[i - 2]) || ((b || c) && f[i - 3]);
  }
  return f[n];
}