Question

975. 奇偶跳

English Version

题目描述

给定一个整数数组 A，你可以从某一起始索引出发，跳跃一定次数。在你跳跃的过程中，第 1、3、5... 次跳跃称为奇数跳跃，而第 2、4、6... 次跳跃称为偶数跳跃。

你可以按以下方式从索引 i 向后跳转到索引 j（其中 i < j）：

• 在进行奇数跳跃时（如，第 1，3，5... 次跳跃），你将会跳到索引 j，使得 A[i] <= A[j]，A[j] 是可能的最小值。如果存在多个这样的索引 j，你只能跳到满足要求的最小索引 j 上。
• 在进行偶数跳跃时（如，第 2，4，6... 次跳跃），你将会跳到索引 j，使得 A[i] >= A[j]，A[j] 是可能的最大值。如果存在多个这样的索引 j，你只能跳到满足要求的最小索引 j 上。
• （对于某些索引 i，可能无法进行合乎要求的跳跃。）

如果从某一索引开始跳跃一定次数（可能是 0 次或多次），就可以到达数组的末尾（索引 A.length - 1），那么该索引就会被认为是好的起始索引。

返回好的起始索引的数量。

 

示例 1：

输入：[10,13,12,14,15]
输出：2
解释： 
从起始索引 i = 0 出发，我们可以跳到 i = 2，（因为 A[2] 是 A[1]，A[2]，A[3]，A[4] 中大于或等于 A[0] 的最小值），然后我们就无法继续跳下去了。
从起始索引 i = 1 和 i = 2 出发，我们可以跳到 i = 3，然后我们就无法继续跳下去了。
从起始索引 i = 3 出发，我们可以跳到 i = 4，到达数组末尾。
从起始索引 i = 4 出发，我们已经到达数组末尾。
总之，我们可以从 2 个不同的起始索引（i = 3, i = 4）出发，通过一定数量的跳跃到达数组末尾。

示例 2：

输入：[2,3,1,1,4]
输出：3
解释：
从起始索引 i=0 出发，我们依次可以跳到 i = 1，i = 2，i = 3：

在我们的第一次跳跃（奇数）中，我们先跳到 i = 1，因为 A[1] 是（A[1]，A[2]，A[3]，A[4]）中大于或等于 A[0] 的最小值。

在我们的第二次跳跃（偶数）中，我们从 i = 1 跳到 i = 2，因为 A[2] 是（A[2]，A[3]，A[4]）中小于或等于 A[1] 的最大值。A[3] 也是最大的值，但 2 是一个较小的索引，所以我们只能跳到 i = 2，而不能跳到 i = 3。

在我们的第三次跳跃（奇数）中，我们从 i = 2 跳到 i = 3，因为 A[3] 是（A[3]，A[4]）中大于或等于 A[2] 的最小值。

我们不能从 i = 3 跳到 i = 4，所以起始索引 i = 0 不是好的起始索引。

类似地，我们可以推断：
从起始索引 i = 1 出发， 我们跳到 i = 4，这样我们就到达数组末尾。
从起始索引 i = 2 出发， 我们跳到 i = 3，然后我们就不能再跳了。
从起始索引 i = 3 出发， 我们跳到 i = 4，这样我们就到达数组末尾。
从起始索引 i = 4 出发，我们已经到达数组末尾。
总之，我们可以从 3 个不同的起始索引（i = 1, i = 3, i = 4）出发，通过一定数量的跳跃到达数组末尾。

示例 3：

输入：[5,1,3,4,2]
输出：3
解释： 
我们可以从起始索引 1，2，4 出发到达数组末尾。

 

提示：

1. 1 <= A.length <= 20000
2. 0 <= A[i] < 100000

解法

方法一：有序集合 + 记忆化搜索

我们先利用有序集合，预处理出每个位置能跳到的位置，记录在数组 $g$ 中，其中 $g[i][1]$ 和 $g[i][0]$ 分别表示当前位置是奇数次跳还是偶数次跳时能跳到的位置。如果不能跳到任何位置，那么 $g[i][1]$ 和 $g[i][0]$ 都为 $-1$。

然后利用记忆化搜索，从每个位置出发，且当前是奇数次跳跃，判断是否能跳到数组末尾，如果能，那么结果加一。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组长度。

from sortedcontainers import SortedDict


class Solution:
  def oddEvenJumps(self, arr: List[int]) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int, k: int) -> bool:
      if i == n - 1:
        return True
      if g[i][k] == -1:
        return False
      return dfs(g[i][k], k ^ 1)

    n = len(arr)
    g = [[0] * 2 for _ in range(n)]
    sd = SortedDict()
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      j = sd.bisect_left(arr[i])
      g[i][1] = sd.values()[j] if j < len(sd) else -1
      j = sd.bisect_right(arr[i]) - 1
      g[i][0] = sd.values()[j] if j >= 0 else -1
      sd[arr[i]] = i
    return sum(dfs(i, 1) for i in range(n))

class Solution {
  private int n;
  private Integer[][] f;
  private int[][] g;

  public int oddEvenJumps(int[] arr) {
    TreeMap<Integer, Integer> tm = new TreeMap<>();
    n = arr.length;
    f = new Integer[n][2];
    g = new int[n][2];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      var hi = tm.ceilingEntry(arr[i]);
      g[i][1] = hi == null ? -1 : hi.getValue();
      var lo = tm.floorEntry(arr[i]);
      g[i][0] = lo == null ? -1 : lo.getValue();
      tm.put(arr[i], i);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ans += dfs(i, 1);
    }
    return ans;
  }

  private int dfs(int i, int k) {
    if (i == n - 1) {
      return 1;
    }
    if (g[i][k] == -1) {
      return 0;
    }
    if (f[i][k] != null) {
      return f[i][k];
    }
    return f[i][k] = dfs(g[i][k], k ^ 1);
  }
}

class Solution {
public:
  int oddEvenJumps(vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    map<int, int> d;
    int f[n][2];
    int g[n][2];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = n - 1; ~i; --i) {
      auto it = d.lower_bound(arr[i]);
      g[i][1] = it == d.end() ? -1 : it->second;
      it = d.upper_bound(arr[i]);
      g[i][0] = it == d.begin() ? -1 : prev(it)->second;
      d[arr[i]] = i;
    }
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int k) -> int {
      if (i == n - 1) {
        return 1;
      }
      if (g[i][k] == -1) {
        return 0;
      }
      if (f[i][k] != 0) {
        return f[i][k];
      }
      return f[i][k] = dfs(g[i][k], k ^ 1);
    };
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ans += dfs(i, 1);
    }
    return ans;
  }
};

func oddEvenJumps(arr []int) (ans int) {
  n := len(arr)
  rbt := redblacktree.NewWithIntComparator()
  f := make([][2]int, n)
  g := make([][2]int, n)
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    if v, ok := rbt.Ceiling(arr[i]); ok {
      g[i][1] = v.Value.(int)
    } else {
      g[i][1] = -1
    }
    if v, ok := rbt.Floor(arr[i]); ok {
      g[i][0] = v.Value.(int)
    } else {
      g[i][0] = -1
    }
    rbt.Put(arr[i], i)
  }
  var dfs func(int, int) int
  dfs = func(i, k int) int {
    if i == n-1 {
      return 1
    }
    if g[i][k] == -1 {
      return 0
    }
    if f[i][k] != 0 {
      return f[i][k]
    }
    f[i][k] = dfs(g[i][k], k^1)
    return f[i][k]
  }
  for i := 0; i < n; i++ {
    if dfs(i, 1) == 1 {
      ans++
    }
  }
  return
}