Question

2163. 删除元素后和的最小差值

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 3 * n 个元素。

你可以从 nums 中删除 恰好 n 个元素，剩下的 2 * n 个元素将会被分成两个 相同大小 的部分。

• 前面 n 个元素属于第一部分，它们的和记为 sumfirst 。
• 后面 n 个元素属于第二部分，它们的和记为 sumsecond 。

两部分和的 差值 记为 sumfirst - sumsecond 。

• 比方说，sumfirst = 3 且 sumsecond = 2 ，它们的差值为 1 。
• 再比方，sumfirst = 2 且 sumsecond = 3 ，它们的差值为 -1 。

请你返回删除 n 个元素之后，剩下两部分和的 差值的最小值 是多少。

 

示例 1：

输入：nums = [3,1,2]
输出：-1
解释：nums 有 3 个元素，所以 n = 1 。
所以我们需要从 nums 中删除 1 个元素，并将剩下的元素分成两部分。
- 如果我们删除 nums[0] = 3 ，数组变为 [1,2] 。两部分和的差值为 1 - 2 = -1 。
- 如果我们删除 nums[1] = 1 ，数组变为 [3,2] 。两部分和的差值为 3 - 2 = 1 。
- 如果我们删除 nums[2] = 2 ，数组变为 [3,1] 。两部分和的差值为 3 - 1 = 2 。
两部分和的最小差值为 min(-1,1,2) = -1 。

示例 2：

输入：nums = [7,9,5,8,1,3]
输出：1
解释：n = 2 。所以我们需要删除 2 个元素，并将剩下元素分为 2 部分。
如果我们删除元素 nums[2] = 5 和 nums[3] = 8 ，剩下元素为 [7,9,1,3] 。和的差值为 (7+9) - (1+3) = 12 。
为了得到最小差值，我们应该删除 nums[1] = 9 和 nums[4] = 1 ，剩下的元素为 [7,5,8,3] 。和的差值为 (7+5) - (8+3) = 1 。
观察可知，最优答案为 1 。

 

提示：

• nums.length == 3 * n
• 1 <= n <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

解法

方法一：优先队列（大小根堆）+ 前后缀和 + 枚举分割点

题目实际上等价于在 $nums$ 中找到一个分割点，将数组分成左右两部分，在前一部分中选取最小的 $n$ 个元素，在后一部分中选取最大的 $n$ 个元素，使得两部分和的差值最小。

我们可以用一个大根堆维护前缀中最小的 $n$ 个元素，用一个小根堆维护后缀中最大的 $n$ 个元素。我们定义 $pre[i]$ 表示在数组 $nums$ 的前 $i$ 个元素中选择最小的 $n$ 个元素的和，定义 $suf[i]$ 表示从数组第 $i$ 个元素到最后一个元素中选择最大的 $n$ 个元素的和。在维护大小根堆的过程中，更新 $pre[i]$ 和 $suf[i]$ 的值。

最后，我们在 $i \in [n, 2n]$ 的范围内枚举分割点，计算 $pre[i] - suf[i + 1]$ 的值，取最小值即可。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def minimumDifference(self, nums: List[int]) -> int:
    m = len(nums)
    n = m // 3

    s = 0
    pre = [0] * (m + 1)
    q1 = []
    for i, x in enumerate(nums[: n * 2], 1):
      s += x
      heappush(q1, -x)
      if len(q1) > n:
        s -= -heappop(q1)
      pre[i] = s

    s = 0
    suf = [0] * (m + 1)
    q2 = []
    for i in range(m, n, -1):
      x = nums[i - 1]
      s += x
      heappush(q2, x)
      if len(q2) > n:
        s -= heappop(q2)
      suf[i] = s

    return min(pre[i] - suf[i + 1] for i in range(n, n * 2 + 1))

class Solution {
  public long minimumDifference(int[] nums) {
    int m = nums.length;
    int n = m / 3;
    long s = 0;
    long[] pre = new long[m + 1];
    PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
    for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) {
      int x = nums[i - 1];
      s += x;
      pq.offer(x);
      if (pq.size() > n) {
        s -= pq.poll();
      }
      pre[i] = s;
    }
    s = 0;
    long[] suf = new long[m + 1];
    pq = new PriorityQueue<>();
    for (int i = m; i > n; --i) {
      int x = nums[i - 1];
      s += x;
      pq.offer(x);
      if (pq.size() > n) {
        s -= pq.poll();
      }
      suf[i] = s;
    }
    long ans = 1L << 60;
    for (int i = n; i <= n * 2; ++i) {
      ans = Math.min(ans, pre[i] - suf[i + 1]);
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  long long minimumDifference(vector<int>& nums) {
    int m = nums.size();
    int n = m / 3;

    using ll = long long;
    ll s = 0;
    ll pre[m + 1];
    priority_queue<int> q1;
    for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) {
      int x = nums[i - 1];
      s += x;
      q1.push(x);
      if (q1.size() > n) {
        s -= q1.top();
        q1.pop();
      }
      pre[i] = s;
    }
    s = 0;
    ll suf[m + 1];
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q2;
    for (int i = m; i > n; --i) {
      int x = nums[i - 1];
      s += x;
      q2.push(x);
      if (q2.size() > n) {
        s -= q2.top();
        q2.pop();
      }
      suf[i] = s;
    }
    ll ans = 1e18;
    for (int i = n; i <= n * 2; ++i) {
      ans = min(ans, pre[i] - suf[i + 1]);
    }
    return ans;
  }
};

func minimumDifference(nums []int) int64 {
  m := len(nums)
  n := m / 3
  s := 0
  pre := make([]int, m+1)
  q1 := hp{}
  for i := 1; i <= n*2; i++ {
    x := nums[i-1]
    s += x
    heap.Push(&q1, -x)
    if q1.Len() > n {
      s -= -heap.Pop(&q1).(int)
    }
    pre[i] = s
  }
  s = 0
  suf := make([]int, m+1)
  q2 := hp{}
  for i := m; i > n; i-- {
    x := nums[i-1]
    s += x
    heap.Push(&q2, x)
    if q2.Len() > n {
      s -= heap.Pop(&q2).(int)
    }
    suf[i] = s
  }
  ans := int64(1e18)
  for i := n; i <= n*2; i++ {
    ans = min(ans, int64(pre[i]-suf[i+1]))
  }
  return ans
}

type hp struct{ sort.IntSlice }

func (h hp) Less(i, j int) bool { return h.IntSlice[i] < h.IntSlice[j] }
func (h *hp) Push(v any)    { h.IntSlice = append(h.IntSlice, v.(int)) }
func (h *hp) Pop() any {
  a := h.IntSlice
  v := a[len(a)-1]
  h.IntSlice = a[:len(a)-1]
  return v
}

function minimumDifference(nums: number[]): number {
  const m = nums.length;
  const n = Math.floor(m / 3);
  let s = 0;
  const pre: number[] = Array(m + 1);
  const q1 = new MaxPriorityQueue();
  for (let i = 1; i <= n * 2; ++i) {
    const x = nums[i - 1];
    s += x;
    q1.enqueue(x, x);
    if (q1.size() > n) {
      s -= q1.dequeue().element;
    }
    pre[i] = s;
  }
  s = 0;
  const suf: number[] = Array(m + 1);
  const q2 = new MinPriorityQueue();
  for (let i = m; i > n; --i) {
    const x = nums[i - 1];
    s += x;
    q2.enqueue(x, x);
    if (q2.size() > n) {
      s -= q2.dequeue().element;
    }
    suf[i] = s;
  }
  let ans = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
  for (let i = n; i <= n * 2; ++i) {
    ans = Math.min(ans, pre[i] - suf[i + 1]);
  }
  return ans;
}