Question

1806. 还原排列的最少操作步数

English Version

题目描述

给你一个偶数 n​​​​​​ ，已知存在一个长度为 n 的排列 perm ，其中 perm[i] == i​（下标 从 0 开始 计数）。

一步操作中，你将创建一个新数组 arr ，对于每个 i ：

• 如果 i % 2 == 0 ，那么 arr[i] = perm[i / 2]
• 如果 i % 2 == 1 ，那么 arr[i] = perm[n / 2 + (i - 1) / 2]

然后将 arr​​ 赋值​​给 perm 。

要想使 perm 回到排列初始值，至少需要执行多少步操作？返回最小的 非零 操作步数。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：最初，perm = [0,1]
第 1 步操作后，perm = [0,1]
所以，仅需执行 1 步操作

示例 2：

输入：n = 4
输出：2
解释：最初，perm = [0,1,2,3]
第 1 步操作后，perm = [0,2,1,3]
第 2 步操作后，perm = [0,1,2,3]
所以，仅需执行 2 步操作

示例 3：

输入：n = 6
输出：4

 

提示：

• 2 <= n <= 1000
• n​​​​​​ 是一个偶数

解法

方法一：找规律 + 模拟

我们观察数字的变化规律，发现：

1. 新数组的偶数位数字依次是原数组的前半段数字；
2. 新数组的奇数位数字依次是原数组的后半段数字。

即，如果原数组的某个数字下标 $i$ 在 [0, n >> 1) 范围内，那么这个数字的新下标就是 i << 1；否则，新下标就是 (i - (n >> 1)) << 1 | 1。

另外，每一轮操作，数字移动的路径都是一样的，只要有一个数字（数字 $0$ 和 $n-1$ 除外）回到了它原来的位置，那么整个序列就和之前的一致了。

因此，我们选择数字 $1$，初始时下标也是 $1$，每次将数字 $1$ 移动到新的位置，直到数字 $1$ 回到原来的位置，就可以得到最小的操作次数。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def reinitializePermutation(self, n: int) -> int:
    ans, i = 0, 1
    while 1:
      ans += 1
      if i < n >> 1:
        i <<= 1
      else:
        i = (i - (n >> 1)) << 1 | 1
      if i == 1:
        return ans

class Solution {
  public int reinitializePermutation(int n) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1;;) {
      ++ans;
      if (i < (n >> 1)) {
        i <<= 1;
      } else {
        i = (i - (n >> 1)) << 1 | 1;
      }
      if (i == 1) {
        return ans;
      }
    }
  }
}

class Solution {
public:
  int reinitializePermutation(int n) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1;;) {
      ++ans;
      if (i < (n >> 1)) {
        i <<= 1;
      } else {
        i = (i - (n >> 1)) << 1 | 1;
      }
      if (i == 1) {
        return ans;
      }
    }
  }
};

func reinitializePermutation(n int) (ans int) {
  for i := 1; ; {
    ans++
    if i < (n >> 1) {
      i <<= 1
    } else {
      i = (i-(n>>1))<<1 | 1
    }
    if i == 1 {
      return ans
    }
  }
}