Question

1377. T 秒后青蛙的位置

English Version

题目描述

给你一棵由 n 个顶点组成的无向树，顶点编号从 1 到 n。青蛙从 顶点 1 开始起跳。规则如下：

• 在一秒内，青蛙从它所在的当前顶点跳到另一个 未访问 过的顶点（如果它们直接相连）。
• 青蛙无法跳回已经访问过的顶点。
• 如果青蛙可以跳到多个不同顶点，那么它跳到其中任意一个顶点上的机率都相同。
• 如果青蛙不能跳到任何未访问过的顶点上，那么它每次跳跃都会停留在原地。

无向树的边用数组 edges 描述，其中 edges[i] = [ai, bi] 意味着存在一条直接连通 ai 和 bi 两个顶点的边。

返回青蛙在 _t_ 秒后位于目标顶点 _target _上的概率。与实际答案相差不超过 10-5 的结果将被视为正确答案。

 

示例 1：

输入：n = 7, edges = [[1,2],[1,3],[1,7],[2,4],[2,6],[3,5]], t = 2, target = 4
输出：0.16666666666666666 
解释：上图显示了青蛙的跳跃路径。青蛙从顶点 1 起跳，第 1 秒 有 1/3 的概率跳到顶点 2 ，然后第 2 秒 有 1/2 的概率跳到顶点 4，因此青蛙在 2 秒后位于顶点 4 的概率是 1/3 * 1/2 = 1/6 = 0.16666666666666666 。 

示例 2：

输入：n = 7, edges = [[1,2],[1,3],[1,7],[2,4],[2,6],[3,5]], t = 1, target = 7
输出：0.3333333333333333
解释：上图显示了青蛙的跳跃路径。青蛙从顶点 1 起跳，有 1/3 = 0.3333333333333333 的概率能够 1 秒 后跳到顶点 7 。 

 

 

提示：

• 1 <= n <= 100
• edges.length == n - 1
• edges[i].length == 2
• 1 <= ai, bi <= n
• 1 <= t <= 50
• 1 <= target <= n

解法

方法一：BFS

我们先根据题目给出的无向树的边，建立一个邻接表 $g$，其中 $g[u]$ 表示顶点 $u$ 的所有相邻顶点。

然后，我们定义以下数据结构：

• 队列 $q$，用于存储每一轮搜索的顶点及其概率，初始时 $q = [(1, 1.0)]$，表示青蛙在顶点 $1$ 的概率为 $1.0$；
• 数组 $vis$，用于记录每个顶点是否被访问过，初始时 $vis[1] = true$，其余元素均为 $false$。

接下来，我们开始进行广度优先搜索。

在每一轮搜索中，我们每次取出队首元素 $(u, p)$，其中 $u$ 和 $p$ 分别表示当前顶点及其概率。当前顶点 $u$ 的相邻顶点中未被访问过的顶点的个数记为 $cnt$。

• 如果 $u = target$，说明青蛙已经到达目标顶点，此时我们判断青蛙是否在 $t$ 秒到达目标顶点，或者不到 $t$ 秒到达目标顶点但是无法再跳跃到其它顶点（即 $t=0$ 或者 $cnt=0$）。如果是，则返回 $p$，否则返回 $0$。
• 如果 $u \neq target$，那么我们将概率 $p$ 均分给 $u$ 的所有未被访问过的相邻顶点，然后将这些顶点加入队列 $q$ 中，并且将这些顶点标记为已访问。

在一轮搜索结束后，我们将 $t$ 减少 $1$，然后继续进行下一轮搜索，直到队列为空或者 $t \lt 0$。

最后，若青蛙仍然没有到达目标顶点，那么我们返回 $0$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是无向树的顶点数。

class Solution:
  def frogPosition(
    self, n: int, edges: List[List[int]], t: int, target: int
  ) -> float:
    g = defaultdict(list)
    for u, v in edges:
      g[u].append(v)
      g[v].append(u)
    q = deque([(1, 1.0)])
    vis = [False] * (n + 1)
    vis[1] = True
    while q and t >= 0:
      for _ in range(len(q)):
        u, p = q.popleft()
        cnt = len(g[u]) - int(u != 1)
        if u == target:
          return p if cnt * t == 0 else 0
        for v in g[u]:
          if not vis[v]:
            vis[v] = True
            q.append((v, p / cnt))
      t -= 1
    return 0

class Solution {
  public double frogPosition(int n, int[][] edges, int t, int target) {
    List<Integer>[] g = new List[n + 1];
    Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
    for (var e : edges) {
      int u = e[0], v = e[1];
      g[u].add(v);
      g[v].add(u);
    }
    Deque<Pair<Integer, Double>> q = new ArrayDeque<>();
    q.offer(new Pair<>(1, 1.0));
    boolean[] vis = new boolean[n + 1];
    vis[1] = true;
    for (; !q.isEmpty() && t >= 0; --t) {
      for (int k = q.size(); k > 0; --k) {
        var x = q.poll();
        int u = x.getKey();
        double p = x.getValue();
        int cnt = g[u].size() - (u == 1 ? 0 : 1);
        if (u == target) {
          return cnt * t == 0 ? p : 0;
        }
        for (int v : g[u]) {
          if (!vis[v]) {
            vis[v] = true;
            q.offer(new Pair<>(v, p / cnt));
          }
        }
      }
    }
    return 0;
  }
}

class Solution {
public:
  double frogPosition(int n, vector<vector<int>>& edges, int t, int target) {
    vector<vector<int>> g(n + 1);
    for (auto& e : edges) {
      int u = e[0], v = e[1];
      g[u].push_back(v);
      g[v].push_back(u);
    }
    queue<pair<int, double>> q{{{1, 1.0}}};
    bool vis[n + 1];
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    vis[1] = true;
    for (; q.size() && t >= 0; --t) {
      for (int k = q.size(); k; --k) {
        auto [u, p] = q.front();
        q.pop();
        int cnt = g[u].size() - (u != 1);
        if (u == target) {
          return cnt * t == 0 ? p : 0;
        }
        for (int v : g[u]) {
          if (!vis[v]) {
            vis[v] = true;
            q.push({v, p / cnt});
          }
        }
      }
    }
    return 0;
  }
};

func frogPosition(n int, edges [][]int, t int, target int) float64 {
  g := make([][]int, n+1)
  for _, e := range edges {
    u, v := e[0], e[1]
    g[u] = append(g[u], v)
    g[v] = append(g[v], u)
  }
  type pair struct {
    u int
    p float64
  }
  q := []pair{{1, 1}}
  vis := make([]bool, n+1)
  vis[1] = true
  for ; len(q) > 0 && t >= 0; t-- {
    for k := len(q); k > 0; k-- {
      u, p := q[0].u, q[0].p
      q = q[1:]
      cnt := len(g[u])
      if u != 1 {
        cnt--
      }
      if u == target {
        if cnt*t == 0 {
          return p
        }
        return 0
      }
      for _, v := range g[u] {
        if !vis[v] {
          vis[v] = true
          q = append(q, pair{v, p / float64(cnt)})
        }
      }
    }
  }
  return 0
}

function frogPosition(n: number, edges: number[][], t: number, target: number): number {
  const g: number[][] = Array.from({ length: n + 1 }, () => []);
  for (const [u, v] of edges) {
    g[u].push(v);
    g[v].push(u);
  }
  const q: number[][] = [[1, 1]];
  const vis: boolean[] = Array.from({ length: n + 1 }, () => false);
  vis[1] = true;
  for (; q.length > 0 && t >= 0; --t) {
    for (let k = q.length; k > 0; --k) {
      const [u, p] = q.shift()!;
      const cnt = g[u].length - (u === 1 ? 0 : 1);
      if (u === target) {
        return cnt * t === 0 ? p : 0;
      }
      for (const v of g[u]) {
        if (!vis[v]) {
          vis[v] = true;
          q.push([v, p / cnt]);
        }
      }
    }
  }
  return 0;
}

public class Solution {
  public double FrogPosition(int n, int[][] edges, int t, int target) {
    List<int>[] g = new List<int>[n + 1];
    for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
      g[i] = new List<int>();
    }
    foreach (int[] e in edges) {
      int u = e[0], v = e[1];
      g[u].Add(v);
      g[v].Add(u);
    }
    Queue<Tuple<int, double>> q = new Queue<Tuple<int, double>>();
    q.Enqueue(new Tuple<int, double>(1, 1.0));
    bool[] vis = new bool[n + 1];
    vis[1] = true;
    for (; q.Count > 0 && t >= 0; --t) {
      for (int k = q.Count; k > 0; --k) {
        (var u, var p) = q.Dequeue();
        int cnt = g[u].Count - (u == 1 ? 0 : 1);
        if (u == target) {
          return cnt * t == 0 ? p : 0;
        }
        foreach (int v in g[u]) {
          if (!vis[v]) {
            vis[v] = true;
            q.Enqueue(new Tuple<int, double>(v, p / cnt));
          }
        }
      }
    }
    return 0;
  }
}