Question

2438. 二的幂数组中查询范围内的乘积

English Version

题目描述

给你一个正整数 n ，你需要找到一个下标从 0 开始的数组 powers ，它包含 最少 数目的 2 的幂，且它们的和为 n 。powers 数组是 非递减 顺序的。根据前面描述，构造 powers 数组的方法是唯一的。

同时给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 queries ，其中 queries[i] = [lefti, righti] ，其中 queries[i] 表示请你求出满足 lefti <= j <= righti 的所有 powers[j] 的乘积。

请你返回一个数组_ _answers ，长度与_ _queries 的长度相同，其中_ _answers[i]是第_ _i 个查询的答案。由于查询的结果可能非常大，请你将每个 answers[i] 都对 109 + 7 取余 。

 

示例 1：

输入：n = 15, queries = [[0,1],[2,2],[0,3]]
输出：[2,4,64]
解释：
对于 n = 15 ，得到 powers = [1,2,4,8] 。没法得到元素数目更少的数组。
第 1 个查询的答案：powers[0] * powers[1] = 1 * 2 = 2 。
第 2 个查询的答案：powers[2] = 4 。
第 3 个查询的答案：powers[0] * powers[1] * powers[2] * powers[3] = 1 * 2 * 4 * 8 = 64 。
每个答案对 109 + 7 得到的结果都相同，所以返回 [2,4,64] 。

示例 2：

输入：n = 2, queries = [[0,0]]
输出：[2]
解释：
对于 n = 2, powers = [2] 。
唯一一个查询的答案是 powers[0] = 2 。答案对 109 + 7 取余后结果相同，所以返回 [2] 。

 

提示：

• 1 <= n <= 109
• 1 <= queries.length <= 105
• 0 <= starti <= endi < powers.length

解法

方法一：位运算 + 模拟

我们先通过位运算（lowbit）得到 powers 数组，然后通过模拟的方式求出每个查询的答案。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，忽略答案的空间消耗，空间复杂度 $O(\log n)$。其中 $n$ 为 $queries$ 的长度。

class Solution:
  def productQueries(self, n: int, queries: List[List[int]]) -> List[int]:
    powers = []
    while n:
      x = n & -n
      powers.append(x)
      n -= x
    mod = 10**9 + 7
    ans = []
    for l, r in queries:
      x = 1
      for y in powers[l : r + 1]:
        x = (x * y) % mod
      ans.append(x)
    return ans

class Solution {
  private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

  public int[] productQueries(int n, int[][] queries) {
    int[] powers = new int[Integer.bitCount(n)];
    for (int i = 0; n > 0; ++i) {
      int x = n & -n;
      powers[i] = x;
      n -= x;
    }
    int[] ans = new int[queries.length];
    for (int i = 0; i < ans.length; ++i) {
      long x = 1;
      int l = queries[i][0], r = queries[i][1];
      for (int j = l; j <= r; ++j) {
        x = (x * powers[j]) % MOD;
      }
      ans[i] = (int) x;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  const int mod = 1e9 + 7;

  vector<int> productQueries(int n, vector<vector<int>>& queries) {
    vector<int> powers;
    while (n) {
      int x = n & -n;
      powers.emplace_back(x);
      n -= x;
    }
    vector<int> ans;
    for (auto& q : queries) {
      int l = q[0], r = q[1];
      long long x = 1l;
      for (int j = l; j <= r; ++j) {
        x = (x * powers[j]) % mod;
      }
      ans.emplace_back(x);
    }
    return ans;
  }
};

func productQueries(n int, queries [][]int) []int {
  var mod int = 1e9 + 7
  powers := []int{}
  for n > 0 {
    x := n & -n
    powers = append(powers, x)
    n -= x
  }
  ans := make([]int, len(queries))
  for i, q := range queries {
    l, r := q[0], q[1]
    x := 1
    for _, y := range powers[l : r+1] {
      x = (x * y) % mod
    }
    ans[i] = x
  }
  return ans
}