Question

1262. 可被三整除的最大和

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums，请你找出并返回能被三整除的元素最大和。

 

示例 1：

输入：nums = [3,6,5,1,8]
输出：18
解释：选出数字 3, 6, 1 和 8，它们的和是 18（可被 3 整除的最大和）。

示例 2：

输入：nums = [4]
输出：0
解释：4 不能被 3 整除，所以无法选出数字，返回 0。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3,4,4]
输出：12
解释：选出数字 1, 3, 4 以及 4，它们的和是 12（可被 3 整除的最大和）。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 4 * 10^4
• 1 <= nums[i] <= 10^4

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选取若干个数，使得这若干个数的和模 $3$ 余 $j$ 的最大值。初始时 $f[0][0]=0$，其余为 $-\infty$。

对于 $f[i][j]$，我们可以考虑第 $i$ 个数 $x$ 的状态：

• 如果我们不选 $x$，那么 $f[i][j]=f[i-1][j]$；
• 如果我们选 $x$，那么 $f[i][j]=f[i-1][(j-x \bmod 3 + 3)\bmod 3]+x$。

因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j]=\max{f[i-1][j],f[i-1][(j-x \bmod 3 + 3)\bmod 3]+x} $$

最终答案为 $f[n][0]$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

注意到 $f[i][j]$ 的值只与 $f[i-1][j]$ 和 $f[i-1][(j-x \bmod 3 + 3)\bmod 3]$ 有关，因此我们可以使用滚动数组优化空间复杂度，使空间复杂度降低为 $O(1)$。

class Solution:
  def maxSumDivThree(self, nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[-inf] * 3 for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 0
    for i, x in enumerate(nums, 1):
      for j in range(3):
        f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - x) % 3] + x)
    return f[n][0]

class Solution {
  public int maxSumDivThree(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    final int inf = 1 << 30;
    int[][] f = new int[n + 1][3];
    f[0][1] = f[0][2] = -inf;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int x = nums[i - 1];
      for (int j = 0; j < 3; ++j) {
        f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
      }
    }
    return f[n][0];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    const int inf = 1 << 30;
    int f[n + 1][3];
    f[0][0] = 0;
    f[0][1] = f[0][2] = -inf;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int x = nums[i - 1];
      for (int j = 0; j < 3; ++j) {
        f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
      }
    }
    return f[n][0];
  }
};

func maxSumDivThree(nums []int) int {
  n := len(nums)
  const inf = 1 << 30
  f := make([][3]int, n+1)
  f[0] = [3]int{0, -inf, -inf}
  for i, x := range nums {
    i++
    for j := 0; j < 3; j++ {
      f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][(j-x%3+3)%3]+x)
    }
  }
  return f[n][0]
}

function maxSumDivThree(nums: number[]): number {
  const n = nums.length;
  const inf = 1 << 30;
  const f: number[][] = Array(n + 1)
    .fill(0)
    .map(() => Array(3).fill(-inf));
  f[0][0] = 0;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    const x = nums[i - 1];
    for (let j = 0; j < 3; ++j) {
      f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - (x % 3) + 3) % 3] + x);
    }
  }
  return f[n][0];
}

方法二

class Solution:
  def maxSumDivThree(self, nums: List[int]) -> int:
    f = [0, -inf, -inf]
    for x in nums:
      g = f[:]
      for j in range(3):
        g[j] = max(f[j], f[(j - x) % 3] + x)
      f = g
    return f[0]

class Solution {
  public int maxSumDivThree(int[] nums) {
    final int inf = 1 << 30;
    int[] f = new int[] {0, -inf, -inf};
    for (int x : nums) {
      int[] g = f.clone();
      for (int j = 0; j < 3; ++j) {
        g[j] = Math.max(f[j], f[(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
      }
      f = g;
    }
    return f[0];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
    const int inf = 1 << 30;
    vector<int> f = {0, -inf, -inf};
    for (int& x : nums) {
      vector<int> g = f;
      for (int j = 0; j < 3; ++j) {
        g[j] = max(f[j], f[(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
      }
      f = move(g);
    }
    return f[0];
  }
};

func maxSumDivThree(nums []int) int {
  const inf = 1 << 30
  f := [3]int{0, -inf, -inf}
  for _, x := range nums {
    g := [3]int{}
    for j := range f {
      g[j] = max(f[j], f[(j-x%3+3)%3]+x)
    }
    f = g
  }
  return f[0]
}

function maxSumDivThree(nums: number[]): number {
  const inf = 1 << 30;
  const f: number[] = [0, -inf, -inf];
  for (const x of nums) {
    const g = [...f];
    for (let j = 0; j < 3; ++j) {
      f[j] = Math.max(g[j], g[(j - (x % 3) + 3) % 3] + x);
    }
  }
  return f[0];
}