Question

1458. 两个子序列的最大点积

English Version

题目描述

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说， [2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

示例 1：

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。

提示：

• 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
• -1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

点积：

定义 a = [_a_₁, _a_₂,…, _a__{_n_}] 和 b = [_b_₁, _b_₂,…, _b__{_n_}] 的点积为：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n​$$

这里的 Σ 指示总和符号。

解法

方法一：动态规划

定义 $dp[i][j]$ 表示 $nums1$ 前 $i$ 个元素和 $nums2$ 前 $j$ 个元素得到的最大点积。

那么有：

$$ dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j - 1], max(dp[i - 1][j - 1], 0) + nums1[i] \times nums2[j]) $$

答案为 $dp[m][n]$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是数组 $nums1$ 和 $nums2$ 的长度。

class Solution:
  def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    dp = [[-inf] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
      for j in range(1, n + 1):
        v = nums1[i - 1] * nums2[j - 1]
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], max(dp[i - 1][j - 1], 0) + v)
    return dp[-1][-1]

class Solution {
  public int maxDotProduct(int[] nums1, int[] nums2) {
    int m = nums1.length, n = nums2.length;
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    for (int[] e : dp) {
      Arrays.fill(e, Integer.MIN_VALUE);
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        dp[i][j] = Math.max(
          dp[i][j], Math.max(0, dp[i - 1][j - 1]) + nums1[i - 1] * nums2[j - 1]);
      }
    }
    return dp[m][n];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int m = nums1.size(), n = nums2.size();
    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MIN));
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        int v = nums1[i - 1] * nums2[j - 1];
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        dp[i][j] = max(dp[i][j], max(0, dp[i - 1][j - 1]) + v);
      }
    }
    return dp[m][n];
  }
};

func maxDotProduct(nums1 []int, nums2 []int) int {
  m, n := len(nums1), len(nums2)
  dp := make([][]int, m+1)
  for i := range dp {
    dp[i] = make([]int, n+1)
    for j := range dp[i] {
      dp[i][j] = math.MinInt32
    }
  }
  for i := 1; i <= m; i++ {
    for j := 1; j <= n; j++ {
      v := nums1[i-1] * nums2[j-1]
      dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
      dp[i][j] = max(dp[i][j], max(0, dp[i-1][j-1])+v)
    }
  }
  return dp[m][n]
}

impl Solution {
  #[allow(dead_code)]
  pub fn max_dot_product(nums1: Vec<i32>, nums2: Vec<i32>) -> i32 {
    let n = nums1.len();
    let m = nums2.len();
    let mut dp = vec![vec![i32::MIN; m + 1]; n + 1];

    // Begin the actual dp process
    for i in 1..=n {
      for j in 1..=m {
        dp[i][j] = std::cmp::max(
          std::cmp::max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]),
          std::cmp::max(dp[i - 1][j - 1], 0) + nums1[i - 1] * nums2[j - 1]
        );
      }
    }

    dp[n][m]
  }
}