Question

968. 监控二叉树

English Version

题目描述

给定一个二叉树，我们在树的节点上安装摄像头。

节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。

计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。

 

示例 1：

输入：[0,0,null,0,0]
输出：1
解释：如图所示，一台摄像头足以监控所有节点。

示例 2：

输入：[0,0,null,0,null,0,null,null,0]
输出：2
解释：需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。

提示：

1. 给定树的节点数的范围是 [1, 1000]。
2. 每个节点的值都是 0。

解法

方法一：动态规划（树形 DP）

对于每个节点，我们定义三种状态：

• a：当前节点有摄像头
• b：当前节点无摄像头，但被子节点监控
• c：当前节点无摄像头，也没被子节点监控

接下来，我们设计一个函数 $dfs(root)$，它将返回一个长度为 3 的数组，表示以 root 为根的子树中，三种状态下的最小摄像头数量。那么答案就是 $\min(dfs(root)[0], dfs(root)[1])$。

函数 $dfs(root)$ 的计算过程如下：

如果 root 为空，则返回 $[inf, 0, 0]$，其中 inf 表示一个很大的数，它用于表示不可能的情况。

否则，我们递归计算 root 的左右子树，分别得到 $[la, lb, lc]$ 和 $[ra, rb, rc]$。

• 如果当前节点有摄像头，那么它的左右节点必须都是被监控的状态，即 $a = \min(la, lb, lc) + \min(ra, rb, rc) + 1$。
• 如果当前节点无摄像头，但被子节点监控，那么子节点可以是其中之一或者两个都有摄像头，即 $b = \min(la + rb, lb + ra, la + ra)$。
• 如果当前节点无摄像头，也没被子节点监控，那么子节点必须被其子节点监控，即 $c = lb + rb$。

最后，我们返回 $[a, b, c]$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是二叉树的节点数。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#   def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#     self.val = val
#     self.left = left
#     self.right = right
class Solution:
  def minCameraCover(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
    def dfs(root):
      if root is None:
        return inf, 0, 0
      la, lb, lc = dfs(root.left)
      ra, rb, rc = dfs(root.right)
      a = min(la, lb, lc) + min(ra, rb, rc) + 1
      b = min(la + rb, lb + ra, la + ra)
      c = lb + rb
      return a, b, c

    a, b, _ = dfs(root)
    return min(a, b)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode left;
 *   TreeNode right;
 *   TreeNode() {}
 *   TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *   TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *     this.val = val;
 *     this.left = left;
 *     this.right = right;
 *   }
 * }
 */
class Solution {
  public int minCameraCover(TreeNode root) {
    int[] ans = dfs(root);
    return Math.min(ans[0], ans[1]);
  }

  private int[] dfs(TreeNode root) {
    if (root == null) {
      return new int[] {1 << 29, 0, 0};
    }
    var l = dfs(root.left);
    var r = dfs(root.right);
    int a = 1 + Math.min(Math.min(l[0], l[1]), l[2]) + Math.min(Math.min(r[0], r[1]), r[2]);
    int b = Math.min(Math.min(l[0] + r[1], l[1] + r[0]), l[0] + r[0]);
    int c = l[1] + r[1];
    return new int[] {a, b, c};
  }
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode *left;
 *   TreeNode *right;
 *   TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *   TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *   TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
struct Status {
  int a, b, c;
};

class Solution {
public:
  int minCameraCover(TreeNode* root) {
    auto [a, b, _] = dfs(root);
    return min(a, b);
  }

  Status dfs(TreeNode* root) {
    if (!root) {
      return {1 << 29, 0, 0};
    }
    auto [la, lb, lc] = dfs(root->left);
    auto [ra, rb, rc] = dfs(root->right);
    int a = 1 + min({la, lb, lc}) + min({ra, rb, rc});
    int b = min({la + ra, la + rb, lb + ra});
    int c = lb + rb;
    return {a, b, c};
  };
};

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *   Val int
 *   Left *TreeNode
 *   Right *TreeNode
 * }
 */
func minCameraCover(root *TreeNode) int {
  var dfs func(*TreeNode) (int, int, int)
  dfs = func(root *TreeNode) (int, int, int) {
    if root == nil {
      return 1 << 29, 0, 0
    }
    la, lb, lc := dfs(root.Left)
    ra, rb, rc := dfs(root.Right)
    a := 1 + min(la, min(lb, lc)) + min(ra, min(rb, rc))
    b := min(la+ra, min(la+rb, lb+ra))
    c := lb + rb
    return a, b, c
  }
  a, b, _ := dfs(root)
  return min(a, b)
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * class TreeNode {
 *   val: number
 *   left: TreeNode | null
 *   right: TreeNode | null
 *   constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
 *     this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *     this.left = (left===undefined ? null : left)
 *     this.right = (right===undefined ? null : right)
 *   }
 * }
 */

function minCameraCover(root: TreeNode | null): number {
  const dfs = (root: TreeNode | null): number[] => {
    if (!root) {
      return [1 << 29, 0, 0];
    }
    const [la, lb, lc] = dfs(root.left);
    const [ra, rb, rc] = dfs(root.right);
    const a = 1 + Math.min(la, lb, lc) + Math.min(ra, rb, rc);
    const b = Math.min(la + ra, la + rb, lb + ra);
    const c = lb + rb;
    return [a, b, c];
  };
  const [a, b, _] = dfs(root);
  return Math.min(a, b);
}