Question

1808. 好因子的最大数目

English Version

题目描述

给你一个正整数 primeFactors 。你需要构造一个正整数 n ，它满足以下条件：

• n 质因数（质因数需要考虑重复的情况）的数目 不超过 primeFactors 个。
• n 好因子的数目最大化。如果 n 的一个因子可以被 n 的每一个质因数整除，我们称这个因子是 好因子 。比方说，如果 n = 12 ，那么它的质因数为 [2,2,3] ，那么 6 和 12 是好因子，但 3 和 4 不是。

请你返回 n 的好因子的数目。由于答案可能会很大，请返回答案对 109 + 7 取余 的结果。

请注意，一个质数的定义是大于 1 ，且不能被分解为两个小于该数的自然数相乘。一个数 n 的质因子是将 n 分解为若干个质因子，且它们的乘积为 n 。

 

示例 1：

输入：primeFactors = 5
输出：6
解释：200 是一个可行的 n 。
它有 5 个质因子：[2,2,2,5,5] ，且有 6 个好因子：[10,20,40,50,100,200] 。
不存在别的 n 有至多 5 个质因子，且同时有更多的好因子。

示例 2：

输入：primeFactors = 8
输出：18

 

提示：

• 1 <= primeFactors <= 109

解法

方法一：问题转换 + 快速幂

我们可以将 $n$ 进行质因数分解，即 $n = a_1^{k_1} \times a_2^{k_2} \times\cdots \times a_m^{k_m}$，其中 $a_i$ 为质因子，而 $k_i$ 为质因子 $a_i$ 的指数。由于 $n$ 的质因子个数不超过 $primeFactors$ 个，因此 $k_1 + k_2 + \cdots + k_m \leq primeFactors$。

而根据题意描述，我们知道 $n$ 的好因子要满足能被所有的质因子整除，也即是说 $n$ 的好因子需要包含 $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_m$ 作为因数。那么好因子的个数 $k= k_1 \times k_2 \times \cdots \times k_m$，即 $k$ 为 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 的乘积。要最大化好因子的个数，也即是说我们要将 primeFactors 拆分成 $k_1, k_2, \cdots, k_m$，使得 $k_1 \times k_2 \times \cdots \times k_m$ 最大。因此问题转换为：将整数 primeFactors 拆分成若干个整数的乘积，使得乘积最大。

接下来，我们只需要分情况讨论。

• 如果 $primeFactors \lt 4$，那么直接返回 primeFactors 即可。
• 如果 $primeFactors$ 为 $3$ 的倍数，那么我们将 primeFactors 拆分成 $3$ 的倍数个 $3$，即 $3^{\frac{primeFactors}{3}}$。
• 如果 $primeFactors$ 除以 $3$ 余 $1$，那么我们将 primeFactors 拆分成 $\frac{primeFactors}{3} - 1$ 个 $3$，再乘以 $4$，即 $3^{\frac{primeFactors}{3} - 1} \times 4$。
• 如果 $primeFactors$ 除以 $3$ 余 $2$，那么我们将 primeFactors 拆分成 $\frac{primeFactors}{3}$ 个 $3$，再乘以 $2$，即 $3^{\frac{primeFactors}{3}} \times 2$。

以上过程中，我们利用快速幂取模求解。

时间复杂度 $O(\log n)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def maxNiceDivisors(self, primeFactors: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    if primeFactors < 4:
      return primeFactors
    if primeFactors % 3 == 0:
      return pow(3, primeFactors // 3, mod) % mod
    if primeFactors % 3 == 1:
      return 4 * pow(3, primeFactors // 3 - 1, mod) % mod
    return 2 * pow(3, primeFactors // 3, mod) % mod

class Solution {
  private final int mod = (int) 1e9 + 7;

  public int maxNiceDivisors(int primeFactors) {
    if (primeFactors < 4) {
      return primeFactors;
    }
    if (primeFactors % 3 == 0) {
      return qpow(3, primeFactors / 3);
    }
    if (primeFactors % 3 == 1) {
      return (int) (4L * qpow(3, primeFactors / 3 - 1) % mod);
    }
    return 2 * qpow(3, primeFactors / 3) % mod;
  }

  private int qpow(long a, long n) {
    long ans = 1;
    for (; n > 0; n >>= 1) {
      if ((n & 1) == 1) {
        ans = ans * a % mod;
      }
      a = a * a % mod;
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxNiceDivisors(int primeFactors) {
    if (primeFactors < 4) {
      return primeFactors;
    }
    const int mod = 1e9 + 7;
    auto qpow = [&](long long a, long long n) {
      long long ans = 1;
      for (; n; n >>= 1) {
        if (n & 1) {
          ans = ans * a % mod;
        }
        a = a * a % mod;
      }
      return (int) ans;
    };
    if (primeFactors % 3 == 0) {
      return qpow(3, primeFactors / 3);
    }
    if (primeFactors % 3 == 1) {
      return qpow(3, primeFactors / 3 - 1) * 4L % mod;
    }
    return qpow(3, primeFactors / 3) * 2 % mod;
  }
};

func maxNiceDivisors(primeFactors int) int {
  if primeFactors < 4 {
    return primeFactors
  }
  const mod = 1e9 + 7
  qpow := func(a, n int) int {
    ans := 1
    for ; n > 0; n >>= 1 {
      if n&1 == 1 {
        ans = ans * a % mod
      }
      a = a * a % mod
    }
    return ans
  }
  if primeFactors%3 == 0 {
    return qpow(3, primeFactors/3)
  }
  if primeFactors%3 == 1 {
    return qpow(3, primeFactors/3-1) * 4 % mod
  }
  return qpow(3, primeFactors/3) * 2 % mod
}

/**
 * @param {number} primeFactors
 * @return {number}
 */
var maxNiceDivisors = function (primeFactors) {
  if (primeFactors < 4) {
    return primeFactors;
  }
  const mod = 1e9 + 7;
  const qpow = (a, n) => {
    let ans = 1;
    for (; n; n >>= 1) {
      if (n & 1) {
        ans = Number((BigInt(ans) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
      }
      a = Number((BigInt(a) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
    }
    return ans;
  };
  const k = Math.floor(primeFactors / 3);
  if (primeFactors % 3 === 0) {
    return qpow(3, k);
  }
  if (primeFactors % 3 === 1) {
    return (4 * qpow(3, k - 1)) % mod;
  }
  return (2 * qpow(3, k)) % mod;
};