Question

469. 凸多边形

English Version

题目描述

给定 X-Y 平面上的一组点 points ，其中 points[i] = [xi, yi] 。这些点按顺序连成一个多边形。

如果该多边形为 凸 多边形（凸多边形的定义）则返回 true ，否则返回 false 。

你可以假设由给定点构成的多边形总是一个 简单的多边形（简单多边形的定义）。换句话说，我们要保证每个顶点处恰好是两条边的汇合点，并且这些边 互不相交 。

 

示例 1：

输入: points = [[0,0],[0,5],[5,5],[5,0]]
输出: true

示例 2：

输入: points = [[0,0],[0,10],[10,10],[10,0],[5,5]]
输出: false

 

提示:

• 3 <= points.length <= 104
• points[i].length == 2
• -104 <= xi, yi <= 104
• 所有点都 不同

 

解法

方法一：数学（向量叉积）

假设当前连续的三个顶点分别为 $p_1, p_2, p_3$，我们可以计算向量 $\overrightarrow{p_1p_2}$ 和 $\overrightarrow{p_1p_3}$ 的叉积，记为 $cur$。如果 $cur$ 的方向与之前的 $pre$ 方向不一致，说明多边形不是凸多边形。否则，我们更新 $pre = cur$，继续遍历下一个顶点。

遍历结束，如果没有发现不一致的情况，说明多边形是凸多边形。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 是顶点的数量。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def isConvex(self, points: List[List[int]]) -> bool:
    n = len(points)
    pre = cur = 0
    for i in range(n):
      x1 = points[(i + 1) % n][0] - points[i][0]
      y1 = points[(i + 1) % n][1] - points[i][1]
      x2 = points[(i + 2) % n][0] - points[i][0]
      y2 = points[(i + 2) % n][1] - points[i][1]
      cur = x1 * y2 - x2 * y1
      if cur != 0:
        if cur * pre < 0:
          return False
        pre = cur
    return True

class Solution {
  public boolean isConvex(List<List<Integer>> points) {
    int n = points.size();
    long pre = 0, cur = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      var p1 = points.get(i);
      var p2 = points.get((i + 1) % n);
      var p3 = points.get((i + 2) % n);
      int x1 = p2.get(0) - p1.get(0);
      int y1 = p2.get(1) - p1.get(1);
      int x2 = p3.get(0) - p1.get(0);
      int y2 = p3.get(1) - p1.get(1);
      cur = x1 * y2 - x2 * y1;
      if (cur != 0) {
        if (cur * pre < 0) {
          return false;
        }
        pre = cur;
      }
    }
    return true;
  }
}

class Solution {
public:
  bool isConvex(vector<vector<int>>& points) {
    int n = points.size();
    long long pre = 0, cur = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[(i + 1) % n][0] - points[i][0];
      int y1 = points[(i + 1) % n][1] - points[i][1];
      int x2 = points[(i + 2) % n][0] - points[i][0];
      int y2 = points[(i + 2) % n][1] - points[i][1];
      cur = 1L * x1 * y2 - x2 * y1;
      if (cur != 0) {
        if (cur * pre < 0) {
          return false;
        }
        pre = cur;
      }
    }
    return true;
  }
};

func isConvex(points [][]int) bool {
  n := len(points)
  pre, cur := 0, 0
  for i := range points {
    x1 := points[(i+1)%n][0] - points[i][0]
    y1 := points[(i+1)%n][1] - points[i][1]
    x2 := points[(i+2)%n][0] - points[i][0]
    y2 := points[(i+2)%n][1] - points[i][1]
    cur = x1*y2 - x2*y1
    if cur != 0 {
      if cur*pre < 0 {
        return false
      }
      pre = cur
    }
  }
  return true
}