Question

面试题 16.14. 最佳直线

English Version

题目描述

给定一个二维平面及平面上的 N 个点列表Points，其中第i个点的坐标为Points[i]=[Xi,Yi]。请找出一条直线，其通过的点的数目最多。

设穿过最多点的直线所穿过的全部点编号从小到大排序的列表为S，你仅需返回[S[0],S[1]]作为答案，若有多条直线穿过了相同数量的点，则选择S[0]值较小的直线返回，S[0]相同则选择S[1]值较小的直线返回。

示例：

输入： [[0,0],[1,1],[1,0],[2,0]]
输出： [0,2]
解释： 所求直线穿过的3个点的编号为[0,2,3]

提示：

• 2 <= len(Points) <= 300
• len(Points[i]) = 2

解法

方法一：暴力枚举

我们可以枚举任意两个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，把这两个点连成一条直线，那么此时这条直线上的点的个数就是 2，接下来我们再枚举其他点 $(x_3, y_3)$，判断它们是否在同一条直线上，如果在，那么直线上的点的个数就加 1，如果不在，那么直线上的点的个数不变。找出所有直线上的点的个数的最大值，其对应的最小的两个点的编号即为答案。

时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 是数组 points 的长度。

class Solution:
  def bestLine(self, points: List[List[int]]) -> List[int]:
    n = len(points)
    mx = 0
    for i in range(n):
      x1, y1 = points[i]
      for j in range(i + 1, n):
        x2, y2 = points[j]
        cnt = 2
        for k in range(j + 1, n):
          x3, y3 = points[k]
          a = (y2 - y1) * (x3 - x1)
          b = (y3 - y1) * (x2 - x1)
          cnt += a == b
        if mx < cnt:
          mx = cnt
          x, y = i, j
    return [x, y]

class Solution {
  public int[] bestLine(int[][] points) {
    int n = points.length;
    int mx = 0;
    int[] ans = new int[2];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int cnt = 2;
        for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
          int x3 = points[k][0], y3 = points[k][1];
          int a = (y2 - y1) * (x3 - x1);
          int b = (y3 - y1) * (x2 - x1);
          if (a == b) {
            ++cnt;
          }
        }
        if (mx < cnt) {
          mx = cnt;
          ans[0] = i;
          ans[1] = j;
        }
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> bestLine(vector<vector<int>>& points) {
    int n = points.size();
    int mx = 0;
    vector<int> ans(2);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int cnt = 2;
        for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
          int x3 = points[k][0], y3 = points[k][1];
          long a = (long) (y2 - y1) * (x3 - x1);
          long b = (long) (y3 - y1) * (x2 - x1);
          cnt += a == b;
        }
        if (mx < cnt) {
          mx = cnt;
          ans[0] = i;
          ans[1] = j;
        }
      }
    }
    return ans;
  }
};

func bestLine(points [][]int) []int {
  n := len(points)
  ans := make([]int, 2)
  mx := 0
  for i := 0; i < n; i++ {
    x1, y1 := points[i][0], points[i][1]
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      x2, y2 := points[j][0], points[j][1]
      cnt := 2
      for k := j + 1; k < n; k++ {
        x3, y3 := points[k][0], points[k][1]
        a := (y2 - y1) * (x3 - x1)
        b := (y3 - y1) * (x2 - x1)
        if a == b {
          cnt++
        }
      }
      if mx < cnt {
        mx = cnt
        ans[0], ans[1] = i, j
      }
    }
  }
  return ans
}

方法二：枚举 + 哈希表

我们可以枚举一个点 $(x_1, y_1)$，把其他所有点 $(x_2, y_2)$ 与 $(x_1, y_1)$ 连成的直线的斜率存入哈希表中，斜率相同的点在同一条直线上，哈希表的键为斜率，值为直线上的点的个数。找出哈希表中的最大值，即为答案。为了避免精度问题，我们可以将斜率 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 进行约分，约分的方法是求最大公约数，然后分子分母同时除以最大公约数，将求得的分子分母作为哈希表的键。

时间复杂度 $O(n^2 \times \log m)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是数组 points 的长度和数组 points 所有横纵坐标差的最大值。

相似题目：

• 149. 直线上最多的点数

class Solution:
  def bestLine(self, points: List[List[int]]) -> List[int]:
    def gcd(a, b):
      return a if b == 0 else gcd(b, a % b)

    n = len(points)
    mx = 0
    for i in range(n):
      x1, y1 = points[i]
      cnt = defaultdict(list)
      for j in range(i + 1, n):
        x2, y2 = points[j]
        dx, dy = x2 - x1, y2 - y1
        g = gcd(dx, dy)
        k = (dx // g, dy // g)
        cnt[k].append((i, j))
        if mx < len(cnt[k]) or (mx == len(cnt[k]) and (x, y) > cnt[k][0]):
          mx = len(cnt[k])
          x, y = cnt[k][0]
    return [x, y]

class Solution {
  public int[] bestLine(int[][] points) {
    int n = points.length;
    int mx = 0;
    int[] ans = new int[2];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      Map<String, List<int[]>> cnt = new HashMap<>();
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
        int g = gcd(dx, dy);
        String key = (dx / g) + "." + (dy / g);
        cnt.computeIfAbsent(key, k -> new ArrayList<>()).add(new int[] {i, j});
        if (mx < cnt.get(key).size()
          || (mx == cnt.get(key).size()
            && (ans[0] > cnt.get(key).get(0)[0]
              || (ans[0] == cnt.get(key).get(0)[0]
                && ans[1] > cnt.get(key).get(0)[1])))) {
          mx = cnt.get(key).size();
          ans = cnt.get(key).get(0);
        }
      }
    }
    return ans;
  }

  private int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> bestLine(vector<vector<int>>& points) {
    int n = points.size();
    int mx = 0;
    pair<int, int> ans = {0, 0};
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      unordered_map<string, vector<pair<int, int>>> cnt;
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
        int g = gcd(dx, dy);
        string k = to_string(dx / g) + "." + to_string(dy / g);
        cnt[k].push_back({i, j});
        if (mx < cnt[k].size() || (mx == cnt[k].size() && ans > cnt[k][0])) {
          mx = cnt[k].size();
          ans = cnt[k][0];
        }
      }
    }
    return vector<int>{ans.first, ans.second};
  }

  int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
};

func bestLine(points [][]int) []int {
  n := len(points)
  ans := make([]int, 2)
  type pair struct{ i, j int }
  mx := 0
  for i := 0; i < n; i++ {
    x1, y1 := points[i][0], points[i][1]
    cnt := map[pair][]pair{}
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      x2, y2 := points[j][0], points[j][1]
      dx, dy := x2-x1, y2-y1
      g := gcd(dx, dy)
      k := pair{dx / g, dy / g}
      cnt[k] = append(cnt[k], pair{i, j})
      if mx < len(cnt[k]) || (mx == len(cnt[k]) && (ans[0] > cnt[k][0].i || (ans[0] == cnt[k][0].i && ans[1] > cnt[k][0].j))) {
        mx = len(cnt[k])
        ans[0], ans[1] = cnt[k][0].i, cnt[k][0].j
      }
    }
  }
  return ans
}

func gcd(a, b int) int {
  if b == 0 {
    return a
  }
  return gcd(b, a%b)
}