Question

1911. 最大子序列交替和

English Version

题目描述

一个下标从 0 开始的数组的 交替和 定义为 偶数 下标处元素之 和 减去 奇数 下标处元素之 和 。

• 比方说，数组 [4,2,5,3] 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4 。

给你一个数组 nums ，请你返回 nums 中任意子序列的 最大交替和 （子序列的下标 重新 从 0 开始编号）。

一个数组的 子序列 是从原数组中删除一些元素后（也可能一个也不删除）剩余元素不改变顺序组成的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的一个子序列（加粗元素），但是 [2,4,2] 不是。

 

示例 1：

输入：nums = [4,2,5,3]
输出：7
解释：最优子序列为 [4,2,5] ，交替和为 (4 + 5) - 2 = 7 。

示例 2：

输入：nums = [5,6,7,8]
输出：8
解释：最优子序列为 [8] ，交替和为 8 。

示例 3：

输入：nums = [6,2,1,2,4,5]
输出：10
解释：最优子序列为 [6,1,5] ，交替和为 (6 + 5) - 1 = 10 。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示从前 $i$ 个元素中选出的子序列，且最后一个元素为奇数下标时的最大交替和，定义 $g[i]$ 表示从前 $i$ 个元素中选出的子序列，且最后一个元素为偶数下标时的最大交替和。初始时 $f[0] = g[0] = 0$。答案为 $max(f[n], g[n])$。

我们考虑第 $i$ 个元素 $nums[i - 1]$：

如果选取该元素且该元素为奇数下标，那么上一个元素必须为偶数下标，且只能从前 $i-1$ 个元素中选取，因此 $f[i] = g[i - 1] - nums[i - 1]$；如果不选取该元素，那么 $f[i] = f[i - 1]$。

同理，如果选取该元素且该元素为偶数下标，那么上一个元素必须为奇数下标，且只能从前 $i-1$ 个元素中选取，因此 $g[i] = f[i - 1] + nums[i - 1]$；如果不选取该元素，那么 $g[i] = g[i - 1]$。

综上，我们可以得到状态转移方程：

$$ \begin{aligned} f[i] &= max(g[i - 1] - nums[i - 1], f[i - 1]) \ g[i] &= max(f[i - 1] + nums[i - 1], g[i - 1]) \end{aligned} $$

最终答案为 $max(f[n], g[n])$。

我们注意到 $f[i]$ 和 $g[i]$ 只与 $f[i - 1]$ 和 $g[i - 1]$ 有关，因此我们可以使用两个变量代替数组，将空间复杂度降低到 $O(1)$。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组长度。

class Solution:
  def maxAlternatingSum(self, nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    f = [0] * (n + 1)
    g = [0] * (n + 1)
    for i, x in enumerate(nums, 1):
      f[i] = max(g[i - 1] - x, f[i - 1])
      g[i] = max(f[i - 1] + x, g[i - 1])
    return max(f[n], g[n])

class Solution {
  public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    long[] f = new long[n + 1];
    long[] g = new long[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      f[i] = Math.max(g[i - 1] - nums[i - 1], f[i - 1]);
      g[i] = Math.max(f[i - 1] + nums[i - 1], g[i - 1]);
    }
    return Math.max(f[n], g[n]);
  }
}

class Solution {
public:
  long long maxAlternatingSum(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<long long> f(n + 1), g(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      f[i] = max(g[i - 1] - nums[i - 1], f[i - 1]);
      g[i] = max(f[i - 1] + nums[i - 1], g[i - 1]);
    }
    return max(f[n], g[n]);
  }
};

func maxAlternatingSum(nums []int) int64 {
  n := len(nums)
  f := make([]int, n+1)
  g := make([]int, n+1)
  for i, x := range nums {
    i++
    f[i] = max(g[i-1]-x, f[i-1])
    g[i] = max(f[i-1]+x, g[i-1])
  }
  return int64(max(f[n], g[n]))
}

function maxAlternatingSum(nums: number[]): number {
  const n = nums.length;
  const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  const g = f.slice();
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    f[i] = Math.max(g[i - 1] + nums[i - 1], f[i - 1]);
    g[i] = Math.max(f[i - 1] - nums[i - 1], g[i - 1]);
  }
  return Math.max(f[n], g[n]);
}

方法二

class Solution:
  def maxAlternatingSum(self, nums: List[int]) -> int:
    f = g = 0
    for x in nums:
      f, g = max(g - x, f), max(f + x, g)
    return max(f, g)

class Solution {
  public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
    long f = 0, g = 0;
    for (int x : nums) {
      long ff = Math.max(g - x, f);
      long gg = Math.max(f + x, g);
      f = ff;
      g = gg;
    }
    return Math.max(f, g);
  }
}

class Solution {
public:
  long long maxAlternatingSum(vector<int>& nums) {
    long long f = 0, g = 0;
    for (int& x : nums) {
      long ff = max(g - x, f), gg = max(f + x, g);
      f = ff, g = gg;
    }
    return max(f, g);
  }
};

func maxAlternatingSum(nums []int) int64 {
  var f, g int
  for _, x := range nums {
    f, g = max(g-x, f), max(f+x, g)
  }
  return int64(max(f, g))
}

function maxAlternatingSum(nums: number[]): number {
  let [f, g] = [0, 0];
  for (const x of nums) {
    [f, g] = [Math.max(g - x, f), Math.max(f + x, g)];
  }
  return g;
}