Question

514. 自由之路

English Version

题目描述

电子游戏“辐射4”中，任务 “通向自由” 要求玩家到达名为 “Freedom Trail Ring” 的金属表盘，并使用表盘拼写特定关键词才能开门。

给定一个字符串 ring ，表示刻在外环上的编码；给定另一个字符串 key ，表示需要拼写的关键词。您需要算出能够拼写关键词中所有字符的最少步数。

最初，ring 的第一个字符与 12:00 方向对齐。您需要顺时针或逆时针旋转 ring 以使 key 的一个字符在 12:00 方向对齐，然后按下中心按钮，以此逐个拼写完 key 中的所有字符。

旋转 ring 拼出 key 字符 key[i] 的阶段中：

1. 您可以将 ring 顺时针或逆时针旋转 一个位置 ，计为1步。旋转的最终目的是将字符串 ring 的一个字符与 12:00 方向对齐，并且这个字符必须等于字符 key[i] 。
2. 如果字符 key[i] 已经对齐到12:00方向，您需要按下中心按钮进行拼写，这也将算作 1 步。按完之后，您可以开始拼写 key 的下一个字符（下一阶段）, 直至完成所有拼写。

 

示例 1：

 

输入: ring = "godding", key = "gd"
输出: 4
解释:
 对于 key 的第一个字符 'g'，已经在正确的位置, 我们只需要1步来拼写这个字符。 
 对于 key 的第二个字符 'd'，我们需要逆时针旋转 ring "godding" 2步使它变成 "ddinggo"。
 当然, 我们还需要1步进行拼写。
 因此最终的输出是 4。

示例 2:

输入: ring = "godding", key = "godding"
输出: 13

 

提示：

• 1 <= ring.length, key.length <= 100
• ring 和 key 只包含小写英文字母
• 保证 字符串 key 一定可以由字符串  ring 旋转拼出

解法

方法一：动态规划

我们首先预处理出字符串 $ring$ 中每个字符 $c$ 出现的位置列表，记录在数组 $pos[c]$ 中。不妨假设字符串 $key$ 和 $ring$ 的长度分别为 $m$ 和 $n$。

然后我们定义 $f[i][j]$ 表示拼写完字符串 $key$ 的前 $i+1$ 个字符，且 $ring$ 的第 $j$ 个字符与 $12:00$ 方向对齐的最少步数。初始时 $f[i][j]=+\infty$。答案为 $\min_{0 \leq j < n} f[m - 1][j]$。

我们可以先初始化 $f[0][j]$，其中 $j$ 是字符 $key[0]$ 在 $ring$ 中出现的位置。由于 $ring$ 的第 $j$ 个字符与 $12:00$ 方向对齐，因此我们只需要 $1$ 步即可拼写出 $key[0]$。此外，我们还需要 $min(j, n - j)$ 步将 $ring$ 旋转到 $12:00$ 方向。因此 $f[0][j]=min(j, n - j) + 1$。

接下来，我们考虑当 $i \geq 1$ 时，状态如何转移。我们可以枚举 $key[i]$ 在 $ring$ 中的位置列表 $pos[key[i]]$，并枚举 $key[i-1]$ 在 $ring$ 中的位置列表 $pos[key[i-1]]$，然后更新 $f[i][j]$，即 $f[i][j]=\min_{k \in pos[key[i-1]]} f[i-1][k] + \min(\text{abs}(j - k), n - \text{abs}(j - k)) + 1$。

最后，我们返回 $\min_{0 \leq j \lt n} f[m - 1][j]$ 即可。

时间复杂度 $O(m \times n^2)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $key$ 和 $ring$ 的长度。

class Solution:
  def findRotateSteps(self, ring: str, key: str) -> int:
    m, n = len(key), len(ring)
    pos = defaultdict(list)
    for i, c in enumerate(ring):
      pos[c].append(i)
    f = [[inf] * n for _ in range(m)]
    for j in pos[key[0]]:
      f[0][j] = min(j, n - j) + 1
    for i in range(1, m):
      for j in pos[key[i]]:
        for k in pos[key[i - 1]]:
          f[i][j] = min(
            f[i][j], f[i - 1][k] + min(abs(j - k), n - abs(j - k)) + 1
          )
    return min(f[-1][j] for j in pos[key[-1]])

class Solution {
  public int findRotateSteps(String ring, String key) {
    int m = key.length(), n = ring.length();
    List<Integer>[] pos = new List[26];
    Arrays.setAll(pos, k -> new ArrayList<>());
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int j = ring.charAt(i) - 'a';
      pos[j].add(i);
    }
    int[][] f = new int[m][n];
    for (var g : f) {
      Arrays.fill(g, 1 << 30);
    }
    for (int j : pos[key.charAt(0) - 'a']) {
      f[0][j] = Math.min(j, n - j) + 1;
    }
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j : pos[key.charAt(i) - 'a']) {
        for (int k : pos[key.charAt(i - 1) - 'a']) {
          f[i][j] = Math.min(
            f[i][j], f[i - 1][k] + Math.min(Math.abs(j - k), n - Math.abs(j - k)) + 1);
        }
      }
    }
    int ans = 1 << 30;
    for (int j : pos[key.charAt(m - 1) - 'a']) {
      ans = Math.min(ans, f[m - 1][j]);
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int findRotateSteps(string ring, string key) {
    int m = key.size(), n = ring.size();
    vector<int> pos[26];
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      pos[ring[j] - 'a'].push_back(j);
    }
    int f[m][n];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    for (int j : pos[key[0] - 'a']) {
      f[0][j] = min(j, n - j) + 1;
    }
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j : pos[key[i] - 'a']) {
        for (int k : pos[key[i - 1] - 'a']) {
          f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + min(abs(j - k), n - abs(j - k)) + 1);
        }
      }
    }
    int ans = 1 << 30;
    for (int j : pos[key[m - 1] - 'a']) {
      ans = min(ans, f[m - 1][j]);
    }
    return ans;
  }
};

func findRotateSteps(ring string, key string) int {
  m, n := len(key), len(ring)
  pos := [26][]int{}
  for j, c := range ring {
    pos[c-'a'] = append(pos[c-'a'], j)
  }
  f := make([][]int, m)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = 1 << 30
    }
  }
  for _, j := range pos[key[0]-'a'] {
    f[0][j] = min(j, n-j) + 1
  }
  for i := 1; i < m; i++ {
    for _, j := range pos[key[i]-'a'] {
      for _, k := range pos[key[i-1]-'a'] {
        f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][k]+min(abs(j-k), n-abs(j-k))+1)
      }
    }
  }
  ans := 1 << 30
  for _, j := range pos[key[m-1]-'a'] {
    ans = min(ans, f[m-1][j])
  }
  return ans
}

func abs(x int) int {
  if x < 0 {
    return -x
  }
  return x
}

function findRotateSteps(ring: string, key: string): number {
  const m: number = key.length;
  const n: number = ring.length;
  const pos: number[][] = Array.from({ length: 26 }, () => []);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    const j: number = ring.charCodeAt(i) - 'a'.charCodeAt(0);
    pos[j].push(i);
  }

  const f: number[][] = Array.from({ length: m }, () => Array(n).fill(1 << 30));
  for (const j of pos[key.charCodeAt(0) - 'a'.charCodeAt(0)]) {
    f[0][j] = Math.min(j, n - j) + 1;
  }

  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    for (const j of pos[key.charCodeAt(i) - 'a'.charCodeAt(0)]) {
      for (const k of pos[key.charCodeAt(i - 1) - 'a'.charCodeAt(0)]) {
        f[i][j] = Math.min(
          f[i][j],
          f[i - 1][k] + Math.min(Math.abs(j - k), n - Math.abs(j - k)) + 1,
        );
      }
    }
  }

  let ans: number = 1 << 30;
  for (const j of pos[key.charCodeAt(m - 1) - 'a'.charCodeAt(0)]) {
    ans = Math.min(ans, f[m - 1][j]);
  }
  return ans;
}