Question

1691. 堆叠长方体的最大高度

English Version

题目描述

给你 n 个长方体 cuboids ，其中第 i 个长方体的长宽高表示为 cuboids[i] = [widthi, lengthi, heighti]（下标从 0 开始）。请你从 cuboids 选出一个 子集 ，并将它们堆叠起来。

如果 widthi <= widthj 且 lengthi <= lengthj 且 heighti <= heightj ，你就可以将长方体 i 堆叠在长方体 j 上。你可以通过旋转把长方体的长宽高重新排列，以将它放在另一个长方体上。

返回 堆叠长方体 cuboids 可以得到的 最大高度 。

 

示例 1：

输入：cuboids = [[50,45,20],[95,37,53],[45,23,12]]
输出：190
解释：
第 1 个长方体放在底部，53x37 的一面朝下，高度为 95 。
第 0 个长方体放在中间，45x20 的一面朝下，高度为 50 。
第 2 个长方体放在上面，23x12 的一面朝下，高度为 45 。
总高度是 95 + 50 + 45 = 190 。

示例 2：

输入：cuboids = [[38,25,45],[76,35,3]]
输出：76
解释：
无法将任何长方体放在另一个上面。
选择第 1 个长方体然后旋转它，使 35x3 的一面朝下，其高度为 76 。

示例 3：

输入：cuboids = [[7,11,17],[7,17,11],[11,7,17],[11,17,7],[17,7,11],[17,11,7]]
输出：102
解释：
重新排列长方体后，可以看到所有长方体的尺寸都相同。
你可以把 11x7 的一面朝下，这样它们的高度就是 17 。
堆叠长方体的最大高度为 6 * 17 = 102 。

 

提示：

• n == cuboids.length
• 1 <= n <= 100
• 1 <= widthi, lengthi, heighti <= 100

解法

方法一：排序 + 动态规划

根据题目描述，长方体 $j$ 能够放在长方体 $i$ 上，当且仅当长方体 $j$ 的“长、宽、高”分别小于等于长方体 $i$ 的“长、宽、高”。

本题允许我们旋转长方体，意味着我们可以选择长方体的任意一边作为长方体的“高”。对于任意一种合法的堆叠，如果我们把里面每个长方体都旋转至“长 <= 宽 <= 高”，堆叠仍然是合法的，并且能够保证堆叠的高度最大化。

因此，我们可以把所有长方体的边长进行排序，使得每个长方体满足“长 <= 宽 <= 高”。然后将每个长方体升序排列。

接下来，我们可以使用动态规划的方法求解本题。

我们定义 $f[i]$ 表示以长方体 $i$ 为最底部长方体时的最大高度。我们可以枚举每个长方体 $i$ 的上方的长方体 $j$，其中 $0 \leq j < i$。如果 $j$ 可以放在 $i$ 的上方，那么我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i] = \max_{0 \leq j < i} {f[j] + h[i]} $$

其中 $h[i]$ 表示长方体 $i$ 的高度。

最终的答案即为 $f[i]$ 的最大值。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为长方体的数量。

class Solution:
  def maxHeight(self, cuboids: List[List[int]]) -> int:
    for c in cuboids:
      c.sort()
    cuboids.sort()
    n = len(cuboids)
    f = [0] * n
    for i in range(n):
      for j in range(i):
        if cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] and cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]:
          f[i] = max(f[i], f[j])
      f[i] += cuboids[i][2]
    return max(f)

class Solution {
  public int maxHeight(int[][] cuboids) {
    for (var c : cuboids) {
      Arrays.sort(c);
    }
    Arrays.sort(cuboids,
      (a, b) -> a[0] == b[0] ? (a[1] == b[1] ? a[2] - b[2] : a[1] - b[1]) : a[0] - b[0]);
    int n = cuboids.length;
    int[] f = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        if (cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]) {
          f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
        }
      }
      f[i] += cuboids[i][2];
    }
    return Arrays.stream(f).max().getAsInt();
  }
}

class Solution {
public:
  int maxHeight(vector<vector<int>>& cuboids) {
    for (auto& c : cuboids) {
      sort(c.begin(), c.end());
    }
    sort(cuboids.begin(), cuboids.end());
    int n = cuboids.size();
    vector<int> f(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        if (cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]) {
          f[i] = max(f[i], f[j]);
        }
      }
      f[i] += cuboids[i][2];
    }
    return *max_element(f.begin(), f.end());
  }
};

func maxHeight(cuboids [][]int) int {
  for _, c := range cuboids {
    sort.Ints(c)
  }
  sort.Slice(cuboids, func(i, j int) bool {
    a, b := cuboids[i], cuboids[j]
    return a[0] < b[0] || a[0] == b[0] && (a[1] < b[1] || a[1] == b[1] && a[2] < b[2])
  })
  n := len(cuboids)
  f := make([]int, n)
  for i := range f {
    for j := 0; j < i; j++ {
      if cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2] {
        f[i] = max(f[i], f[j])
      }
    }
    f[i] += cuboids[i][2]
  }
  return slices.Max(f)
}

function maxHeight(cuboids: number[][]): number {
  for (const c of cuboids) {
    c.sort((a, b) => a - b);
  }
  cuboids.sort((a, b) => {
    if (a[0] !== b[0]) {
      return a[0] - b[0];
    }
    if (a[1] !== b[1]) {
      return a[1] - b[1];
    }
    return a[2] - b[2];
  });
  const n = cuboids.length;
  const f = Array(n).fill(0);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    for (let j = 0; j < i; ++j) {
      const ok = cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2];
      if (ok) f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
    }
    f[i] += cuboids[i][2];
  }
  return Math.max(...f);
}

/**
 * @param {number[][]} cuboids
 * @return {number}
 */
var maxHeight = function (cuboids) {
  for (const c of cuboids) {
    c.sort((a, b) => a - b);
  }
  cuboids.sort((a, b) => {
    if (a[0] !== b[0]) {
      return a[0] - b[0];
    }
    if (a[1] !== b[1]) {
      return a[1] - b[1];
    }
    return a[2] - b[2];
  });
  const n = cuboids.length;
  const f = Array(n).fill(0);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    for (let j = 0; j < i; ++j) {
      const ok = cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2];
      if (ok) f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
    }
    f[i] += cuboids[i][2];
  }
  return Math.max(...f);
};