Question

1449. 数位成本和为目标值的最大数字

English Version

题目描述

给你一个整数数组 cost 和一个整数 target 。请你返回满足如下规则可以得到的 最大 整数：

• 给当前结果添加一个数位（i + 1）的成本为 cost[i] （cost 数组下标从 0 开始）。
• 总成本必须恰好等于 target 。
• 添加的数位中没有数字 0 。

由于答案可能会很大，请你以字符串形式返回。

如果按照上述要求无法得到任何整数，请你返回 "0" 。

 

示例 1：

输入：cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9
输出："7772"
解释：添加数位 '7' 的成本为 2 ，添加数位 '2' 的成本为 3 。所以 "7772" 的代价为 2*3+ 3*1 = 9 。 "977" 也是满足要求的数字，但 "7772" 是较大的数字。
 数字   成本
  1  ->   4
  2  ->   3
  3  ->   2
  4  ->   5
  5  ->   6
  6  ->   7
  7  ->   2
  8  ->   5
  9  ->   5

示例 2：

输入：cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12
输出："85"
解释：添加数位 '8' 的成本是 7 ，添加数位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本为 7 + 5 = 12 。

示例 3：

输入：cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5
输出："0"
解释：总成本是 target 的条件下，无法生成任何整数。

示例 4：

输入：cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47
输出："32211"

 

提示：

• cost.length == 9
• 1 <= cost[i] <= 5000
• 1 <= target <= 5000

解法

方法一：动态规划（背包问题）

我们定义 $f[i][j]$ 表示使用前 $i$ 个数位，花费恰好为 $j$ 的情况下，能够得到的最大位数。初始时，$f[0][0]=0$，其余为 $-\infty$。

考虑 $f[i][j]$，第 $i$ 个数的花费为 $c = cost[i-1]$，如果 $j \lt c$，那么我们无法选取第 $i$ 个数位，此时有 $f[i][j]=f[i-1][j]$；否则我们可以选取第 $i$ 个数位，此时有 $f[i][j]=f[i][j-c]+1$。

如果 $f[9][target] \lt 0$，那么说明无法得到满足要求的整数，返回 "0" 即可。

否则，我们需要从 $f[9][target]$ 开始，倒推出每一位的数字。我们可以使用一个数组 $g[i][j]$ 记录 $f[i][j]$ 的上一个状态，从而倒推出每一位的数字。

具体地，在状态转移时，如果 $j \lt c$，或者 $f[i][j-c]+1 \lt f[i-1][j]$，那么我们不选取第 $i$ 个数位，此时有 $g[i][j]=j$；否则我们选取第 $i$ 个数位，此时有 $g[i][j]=j-c$。

最后，我们定义 $i = 9$, $j = target$，从 $g[i][j]$ 开始不断地倒推，如果 $g[i][j]=j$，说明数字 $i$ 没有被选取，我们令 $i = i - 1$；否则说明数字 $i$ 被选取，我们令 $j = g[i][j]$，并将数字 $i$ 加入答案中。重复上述操作，直到 $i = 0$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为数组 $cost$ 和 $target$ 的长度。

class Solution:
  def largestNumber(self, cost: List[int], target: int) -> str:
    f = [[-inf] * (target + 1) for _ in range(10)]
    f[0][0] = 0
    g = [[0] * (target + 1) for _ in range(10)]
    for i, c in enumerate(cost, 1):
      for j in range(target + 1):
        if j < c or f[i][j - c] + 1 < f[i - 1][j]:
          f[i][j] = f[i - 1][j]
          g[i][j] = j
        else:
          f[i][j] = f[i][j - c] + 1
          g[i][j] = j - c
    if f[9][target] < 0:
      return "0"
    ans = []
    i, j = 9, target
    while i:
      if j == g[i][j]:
        i -= 1
      else:
        ans.append(str(i))
        j = g[i][j]
    return "".join(ans)

class Solution {
  public String largestNumber(int[] cost, int target) {
    final int inf = 1 << 30;
    int[][] f = new int[10][target + 1];
    int[][] g = new int[10][target + 1];
    for (var e : f) {
      Arrays.fill(e, -inf);
    }
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= 9; ++i) {
      int c = cost[i - 1];
      for (int j = 0; j <= target; ++j) {
        if (j < c || f[i][j - c] + 1 < f[i - 1][j]) {
          f[i][j] = f[i - 1][j];
          g[i][j] = j;
        } else {
          f[i][j] = f[i][j - c] + 1;
          g[i][j] = j - c;
        }
      }
    }
    if (f[9][target] < 0) {
      return "0";
    }
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    for (int i = 9, j = target; i > 0;) {
      if (j == g[i][j]) {
        --i;
      } else {
        sb.append(i);
        j = g[i][j];
      }
    }
    return sb.toString();
  }
}

class Solution {
public:
  string largestNumber(vector<int>& cost, int target) {
    const int inf = 1 << 30;
    vector<vector<int>> f(10, vector<int>(target + 1, -inf));
    vector<vector<int>> g(10, vector<int>(target + 1));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= 9; ++i) {
      int c = cost[i - 1];
      for (int j = 0; j <= target; ++j) {
        if (j < c || f[i][j - c] + 1 < f[i - 1][j]) {
          f[i][j] = f[i - 1][j];
          g[i][j] = j;
        } else {
          f[i][j] = f[i][j - c] + 1;
          g[i][j] = j - c;
        }
      }
    }
    if (f[9][target] < 0) {
      return "0";
    }
    string ans;
    for (int i = 9, j = target; i;) {
      if (g[i][j] == j) {
        --i;
      } else {
        ans += '0' + i;
        j = g[i][j];
      }
    }
    return ans;
  }
};

func largestNumber(cost []int, target int) string {
  const inf = 1 << 30
  f := make([][]int, 10)
  g := make([][]int, 10)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, target+1)
    g[i] = make([]int, target+1)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = -inf
    }
  }
  f[0][0] = 0
  for i := 1; i <= 9; i++ {
    c := cost[i-1]
    for j := 0; j <= target; j++ {
      if j < c || f[i][j-c]+1 < f[i-1][j] {
        f[i][j] = f[i-1][j]
        g[i][j] = j
      } else {
        f[i][j] = f[i][j-c] + 1
        g[i][j] = j - c
      }
    }
  }
  if f[9][target] < 0 {
    return "0"
  }
  ans := []byte{}
  for i, j := 9, target; i > 0; {
    if g[i][j] == j {
      i--
    } else {
      ans = append(ans, '0'+byte(i))
      j = g[i][j]
    }
  }
  return string(ans)
}

function largestNumber(cost: number[], target: number): string {
  const inf = 1 << 30;
  const f: number[][] = Array(10)
    .fill(0)
    .map(() => Array(target + 1).fill(-inf));
  const g: number[][] = Array(10)
    .fill(0)
    .map(() => Array(target + 1).fill(0));
  f[0][0] = 0;
  for (let i = 1; i <= 9; ++i) {
    const c = cost[i - 1];
    for (let j = 0; j <= target; ++j) {
      if (j < c || f[i][j - c] + 1 < f[i - 1][j]) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        g[i][j] = j;
      } else {
        f[i][j] = f[i][j - c] + 1;
        g[i][j] = j - c;
      }
    }
  }
  if (f[9][target] < 0) {
    return '0';
  }
  const ans: number[] = [];
  for (let i = 9, j = target; i; ) {
    if (g[i][j] === j) {
      --i;
    } else {
      ans.push(i);
      j = g[i][j];
    }
  }
  return ans.join('');
}