Question

78. 子集

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有元素 互不相同

解法

方法一：DFS(回溯)

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示从数组的第 $i$ 个元素开始搜索所有子集。函数 $dfs(i)$ 的执行逻辑如下：

• 如果 $i=n$，表示当前已经搜索结束，将当前得到的子集 $t$ 加入答案数组 $ans$ 中，然后返回；
• 否则，我们可以选择不选择当前元素，直接执行 $dfs(i+1)$；也可以选择当前元素，即把当前元素 $nums[i]$ 加入子集 $t$，然后执行 $dfs(i+1)$，注意要在执行 $dfs(i+1)$ 以后再将 $nums[i]$ 从子集 $t$ 中移除（回溯）。

在主函数中，我们调用 $dfs(0)$，即从数组的第一个元素开始搜索所有子集。最后返回答案数组 $ans$ 即可。

时间复杂度 $O(n\times 2^n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组的长度。一共有 $2^n$ 个子集，每个子集需要 $O(n)$ 的时间来构造。

class Solution:
  def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
    def dfs(i: int):
      if i == len(nums):
        ans.append(t[:])
        return
      dfs(i + 1)
      t.append(nums[i])
      dfs(i + 1)
      t.pop()

    ans = []
    t = []
    dfs(0)
    return ans

class Solution {
  private List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
  private List<Integer> t = new ArrayList<>();
  private int[] nums;

  public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
    this.nums = nums;
    dfs(0);
    return ans;
  }

  private void dfs(int i) {
    if (i == nums.length) {
      ans.add(new ArrayList<>(t));
      return;
    }
    dfs(i + 1);
    t.add(nums[i]);
    dfs(i + 1);
    t.remove(t.size() - 1);
  }
}

class Solution {
public:
  vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> ans;
    vector<int> t;
    function<void(int)> dfs = [&](int i) -> void {
      if (i == nums.size()) {
        ans.push_back(t);
        return;
      }
      dfs(i + 1);
      t.push_back(nums[i]);
      dfs(i + 1);
      t.pop_back();
    };
    dfs(0);
    return ans;
  }
};

func subsets(nums []int) (ans [][]int) {
  t := []int{}
  var dfs func(int)
  dfs = func(i int) {
    if i == len(nums) {
      ans = append(ans, append([]int(nil), t...))
      return
    }
    dfs(i + 1)
    t = append(t, nums[i])
    dfs(i + 1)
    t = t[:len(t)-1]
  }
  dfs(0)
  return
}

function subsets(nums: number[]): number[][] {
  const ans: number[][] = [];
  const t: number[] = [];
  const dfs = (i: number) => {
    if (i === nums.length) {
      ans.push(t.slice());
      return;
    }
    dfs(i + 1);
    t.push(nums[i]);
    dfs(i + 1);
    t.pop();
  };
  dfs(0);
  return ans;
}

impl Solution {
  fn dfs(i: usize, t: &mut Vec<i32>, res: &mut Vec<Vec<i32>>, nums: &Vec<i32>) {
    if i == nums.len() {
      res.push(t.clone());
      return;
    }
    Self::dfs(i + 1, t, res, nums);
    t.push(nums[i]);
    Self::dfs(i + 1, t, res, nums);
    t.pop();
  }

  pub fn subsets(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
    let mut res = Vec::new();
    Self::dfs(0, &mut Vec::new(), &mut res, &nums);
    res
  }
}

方法二：二进制枚举

我们也可以使用二进制枚举的方法得到所有的子集。

我们可以使用 $2^n$ 个二进制数来表示 $n$ 个元素的所有子集，对于当前二进制数 $mask$，如果第 $i$ 位为 $1$，表示选择了第 $i$ 个元素，否则表示不选择第 $i$ 个元素。

时间复杂度 $O(n\times 2^n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组的长度。一共有 $2^n$ 个子集，每个子集需要 $O(n)$ 的时间来构造。

class Solution:
  def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
    ans = []
    for mask in range(1 << len(nums)):
      t = [x for i, x in enumerate(nums) if mask >> i & 1]
      ans.append(t)
    return ans

class Solution {
  public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    for (int mask = 0; mask < 1 << n; ++mask) {
      List<Integer> t = new ArrayList<>();
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (((mask >> i) & 1) == 1) {
          t.add(nums[i]);
        }
      }
      ans.add(t);
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<vector<int>> ans;
    for (int mask = 0; mask < 1 << n; ++mask) {
      vector<int> t;
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (mask >> i & 1) {
          t.emplace_back(nums[i]);
        }
      }
      ans.emplace_back(t);
    }
    return ans;
  }
};

func subsets(nums []int) (ans [][]int) {
  n := len(nums)
  for mask := 0; mask < 1<<n; mask++ {
    t := []int{}
    for i, x := range nums {
      if mask>>i&1 == 1 {
        t = append(t, x)
      }
    }
    ans = append(ans, t)
  }
  return
}

function subsets(nums: number[]): number[][] {
  const n = nums.length;
  const ans: number[][] = [];
  for (let mask = 0; mask < 1 << n; ++mask) {
    const t: number[] = [];
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
      if (((mask >> i) & 1) === 1) {
        t.push(nums[i]);
      }
    }
    ans.push(t);
  }
  return ans;
}