Question

1697. 检查边长度限制的路径是否存在

English Version

题目描述

给你一个 n 个点组成的无向图边集 edgeList ，其中 edgeList[i] = [ui, vi, disi] 表示点 ui 和点 vi 之间有一条长度为 disi 的边。请注意，两个点之间可能有 超过一条边 。

给你一个查询数组queries ，其中 queries[j] = [pj, qj, limitj] ，你的任务是对于每个查询 queries[j] ，判断是否存在从 pj 到 qj 的路径，且这条路径上的每一条边都 严格小于 limitj 。

请你返回一个 布尔数组_ _answer_ _，其中_ _answer.length == queries.length ，当 queries[j] 的查询结果为 true 时， answer 第_ _j 个值为_ _true_ _，否则为 false 。

 

示例 1：

输入：n = 3, edgeList = [[0,1,2],[1,2,4],[2,0,8],[1,0,16]], queries = [[0,1,2],[0,2,5]]
输出：[false,true]
解释：上图为给定的输入数据。注意到 0 和 1 之间有两条重边，分别为 2 和 16 。
对于第一个查询，0 和 1 之间没有小于 2 的边，所以我们返回 false 。
对于第二个查询，有一条路径（0 -> 1 -> 2）两条边都小于 5 ，所以这个查询我们返回 true 。

示例 2：

输入：n = 5, edgeList = [[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]], queries = [[0,4,14],[1,4,13]]
输出：[true,false]
解释：上图为给定数据。

 

提示：

• 2 <= n <= 105
• 1 <= edgeList.length, queries.length <= 105
• edgeList[i].length == 3
• queries[j].length == 3
• 0 <= ui, vi, pj, qj <= n - 1
• ui != vi
• pj != qj
• 1 <= disi, limitj <= 109
• 两个点之间可能有 多条 边。

解法

方法一：离线查询 + 并查集

根据题目要求，我们需要对每个查询 $queries[i]$ 进行判断，即判断当前查询的两个点 $a$ 和 $b$ 之间是否存在一条边权小于等于 $limit$ 的路径。

判断两点是否连通可以通过并查集来实现。另外，由于查询的顺序对结果没有影响，因此我们可以先将所有查询按照 $limit$ 从小到大排序，所有边也按照边权从小到大排序。

然后对于每个查询，我们从边权最小的边开始，将边权严格小于 $limit$ 的所有边加入并查集，接着利用并查集的查询操作判断两点是否连通即可。

时间复杂度 $O(m \times \log m + q \times \log q)$，其中 $m$ 和 $q$ 分别为边数和查询数。

class Solution:
  def distanceLimitedPathsExist(
    self, n: int, edgeList: List[List[int]], queries: List[List[int]]
  ) -> List[bool]:
    def find(x):
      if p[x] != x:
        p[x] = find(p[x])
      return p[x]

    p = list(range(n))
    edgeList.sort(key=lambda x: x[2])
    j = 0
    ans = [False] * len(queries)
    for i, (a, b, limit) in sorted(enumerate(queries), key=lambda x: x[1][2]):
      while j < len(edgeList) and edgeList[j][2] < limit:
        u, v, _ = edgeList[j]
        p[find(u)] = find(v)
        j += 1
      ans[i] = find(a) == find(b)
    return ans

class Solution {
  private int[] p;

  public boolean[] distanceLimitedPathsExist(int n, int[][] edgeList, int[][] queries) {
    p = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      p[i] = i;
    }
    Arrays.sort(edgeList, (a, b) -> a[2] - b[2]);
    int m = queries.length;
    boolean[] ans = new boolean[m];
    Integer[] qid = new Integer[m];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      qid[i] = i;
    }
    Arrays.sort(qid, (i, j) -> queries[i][2] - queries[j][2]);
    int j = 0;
    for (int i : qid) {
      int a = queries[i][0], b = queries[i][1], limit = queries[i][2];
      while (j < edgeList.length && edgeList[j][2] < limit) {
        int u = edgeList[j][0], v = edgeList[j][1];
        p[find(u)] = find(v);
        ++j;
      }
      ans[i] = find(a) == find(b);
    }
    return ans;
  }

  private int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
      p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
  }
}

class Solution {
public:
  vector<bool> distanceLimitedPathsExist(int n, vector<vector<int>>& edgeList, vector<vector<int>>& queries) {
    vector<int> p(n);
    iota(p.begin(), p.end(), 0);
    sort(edgeList.begin(), edgeList.end(), [](auto& a, auto& b) { return a[2] < b[2]; });
    function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
      if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
      return p[x];
    };
    int m = queries.size();
    vector<bool> ans(m);
    vector<int> qid(m);
    iota(qid.begin(), qid.end(), 0);
    sort(qid.begin(), qid.end(), [&](int i, int j) { return queries[i][2] < queries[j][2]; });
    int j = 0;
    for (int i : qid) {
      int a = queries[i][0], b = queries[i][1], limit = queries[i][2];
      while (j < edgeList.size() && edgeList[j][2] < limit) {
        int u = edgeList[j][0], v = edgeList[j][1];
        p[find(u)] = find(v);
        ++j;
      }
      ans[i] = find(a) == find(b);
    }
    return ans;
  }
};

func distanceLimitedPathsExist(n int, edgeList [][]int, queries [][]int) []bool {
  p := make([]int, n)
  for i := range p {
    p[i] = i
  }
  sort.Slice(edgeList, func(i, j int) bool { return edgeList[i][2] < edgeList[j][2] })
  var find func(int) int
  find = func(x int) int {
    if p[x] != x {
      p[x] = find(p[x])
    }
    return p[x]
  }
  m := len(queries)
  qid := make([]int, m)
  ans := make([]bool, m)
  for i := range qid {
    qid[i] = i
  }
  sort.Slice(qid, func(i, j int) bool { return queries[qid[i]][2] < queries[qid[j]][2] })
  j := 0
  for _, i := range qid {
    a, b, limit := queries[i][0], queries[i][1], queries[i][2]
    for j < len(edgeList) && edgeList[j][2] < limit {
      u, v := edgeList[j][0], edgeList[j][1]
      p[find(u)] = find(v)
      j++
    }
    ans[i] = find(a) == find(b)
  }
  return ans
}

impl Solution {
  #[allow(dead_code)]
  pub fn distance_limited_paths_exist(
    n: i32,
    edge_list: Vec<Vec<i32>>,
    queries: Vec<Vec<i32>>
  ) -> Vec<bool> {
    let mut disjoint_set: Vec<usize> = vec![0; n as usize];
    let mut ans_vec: Vec<bool> = vec![false; queries.len()];
    let mut q_vec: Vec<usize> = vec![0; queries.len()];

    // Initialize the set
    for i in 0..n {
      disjoint_set[i as usize] = i as usize;
    }

    // Initialize the q_vec
    for i in 0..queries.len() {
      q_vec[i] = i;
    }

    // Sort the q_vec based on the query limit, from the lowest to highest
    q_vec.sort_by(|i, j| queries[*i][2].cmp(&queries[*j][2]));

    // Sort the edge_list based on the edge weight, from the lowest to highest
    let mut edge_list = edge_list.clone();
    edge_list.sort_by(|i, j| i[2].cmp(&j[2]));

    let mut edge_idx: usize = 0;
    for q_idx in &q_vec {
      let s = queries[*q_idx][0] as usize;
      let d = queries[*q_idx][1] as usize;
      let limit = queries[*q_idx][2];
      // Construct the disjoint set
      while edge_idx < edge_list.len() && edge_list[edge_idx][2] < limit {
        Solution::union(
          edge_list[edge_idx][0] as usize,
          edge_list[edge_idx][1] as usize,
          &mut disjoint_set
        );
        edge_idx += 1;
      }
      // If the parents of s & d are the same, this query should be `true`
      // Otherwise, the current query is `false`
      ans_vec[*q_idx] = Solution::check_valid(s, d, &mut disjoint_set);
    }

    ans_vec
  }

  #[allow(dead_code)]
  pub fn find(x: usize, d_set: &mut Vec<usize>) -> usize {
    if d_set[x] != x {
      d_set[x] = Solution::find(d_set[x], d_set);
    }
    return d_set[x];
  }

  #[allow(dead_code)]
  pub fn union(s: usize, d: usize, d_set: &mut Vec<usize>) {
    let p_s = Solution::find(s, d_set);
    let p_d = Solution::find(d, d_set);
    d_set[p_s] = p_d;
  }

  #[allow(dead_code)]
  pub fn check_valid(s: usize, d: usize, d_set: &mut Vec<usize>) -> bool {
    let p_s = Solution::find(s, d_set);
    let p_d = Solution::find(d, d_set);
    p_s == p_d
  }
}

附并查集相关介绍以及常用模板：

并查集是一种树形的数据结构，顾名思义，它用于处理一些不交集的合并及查询问题。 它支持两种操作：

1. 查找（Find）：确定某个元素处于哪个子集，单次操作时间复杂度 $O(\alpha(n))$
2. 合并（Union）：将两个子集合并成一个集合，单次操作时间复杂度 $O(\alpha(n))$

其中 $\alpha$ 为阿克曼函数的反函数，其增长极其缓慢，也就是说其单次操作的平均运行时间可以认为是一个很小的常数。

以下是并查集的常用模板，需要熟练掌握。其中：

• n 表示节点数
• p 存储每个点的父节点，初始时每个点的父节点都是自己
• size 只有当节点是祖宗节点时才有意义，表示祖宗节点所在集合中，点的数量
• find(x) 函数用于查找 $x$ 所在集合的祖宗节点
• union(a, b) 函数用于合并 $a$ 和 $b$ 所在的集合

p = list(range(n))
size = [1] * n

def find(x):
  if p[x] != x:
    # 路径压缩
    p[x] = find(p[x])
  return p[x]


def union(a, b):
  pa, pb = find(a), find(b)
  if pa == pb:
    return
  p[pa] = pb
  size[pb] += size[pa]

int[] p = new int[n];
int[] size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
  p[i] = i;
  size[i] = 1;
}

int find(int x) {
  if (p[x] != x) {
    // 路径压缩
    p[x] = find(p[x]);
  }
  return p[x];
}

void union(int a, int b) {
  int pa = find(a), pb = find(b);
  if (pa == pb) {
    return;
  }
  p[pa] = pb;
  size[pb] += size[pa];
}

vector<int> p(n);
iota(p.begin(), p.end(), 0);
vector<int> size(n, 1);

int find(int x) {
  if (p[x] != x) {
    // 路径压缩
    p[x] = find(p[x]);
  }
  return p[x];
}

void unite(int a, int b) {
  int pa = find(a), pb = find(b);
  if (pa == pb) return;
  p[pa] = pb;
  size[pb] += size[pa];
}

p := make([]int, n)
size := make([]int, n)
for i := range p {
  p[i] = i
  size[i] = 1
}

func find(x int) int {
  if p[x] != x {
    // 路径压缩
    p[x] = find(p[x])
  }
  return p[x]
}

func union(a, b int) {
  pa, pb := find(a), find(b)
  if pa == pb {
    return
  }
  p[pa] = pb
  size[pb] += size[pa]
}