Question

面试题 14- II. 剪绳子 II

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

 

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

 

提示：

• 2 <= n <= 1000

注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode.cn/problems/integer-break/

解法

方法一：数学（快速幂）

当 $n \lt 4$，此时 $n$ 不能拆分成至少两个正整数的和，因此 $n - 1$ 是最大乘积。当 $n \ge 4$ 时，我们尽可能多地拆分 $3$，当剩下的最后一段为 $4$ 时，我们将其拆分为 $2 + 2$，这样乘积最大。

时间复杂度 $O(\log n)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def cuttingRope(self, n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    if n < 4:
      return n - 1
    if n % 3 == 0:
      return pow(3, n // 3, mod)
    if n % 3 == 1:
      return (pow(3, n // 3 - 1, mod) * 4) % mod
    return pow(3, n // 3, mod) * 2 % mod

class Solution {
  private final int mod = (int) 1e9 + 7;

  public int cuttingRope(int n) {
    if (n < 4) {
      return n - 1;
    }
    if (n % 3 == 0) {
      return qpow(3, n / 3);
    }
    if (n % 3 == 1) {
      return (int) (4L * qpow(3, n / 3 - 1) % mod);
    }
    return 2 * qpow(3, n / 3) % mod;
  }

  private int qpow(long a, long n) {
    long ans = 1;
    for (; n > 0; n >>= 1) {
      if ((n & 1) == 1) {
        ans = ans * a % mod;
      }
      a = a * a % mod;
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int cuttingRope(int n) {
    if (n < 4) {
      return n - 1;
    }
    const int mod = 1e9 + 7;
    auto qpow = [&](long long a, long long n) {
      long long ans = 1;
      for (; n; n >>= 1) {
        if (n & 1) {
          ans = ans * a % mod;
        }
        a = a * a % mod;
      }
      return (int) ans;
    };
    if (n % 3 == 0) {
      return qpow(3, n / 3);
    }
    if (n % 3 == 1) {
      return qpow(3, n / 3 - 1) * 4L % mod;
    }
    return qpow(3, n / 3) * 2 % mod;
  }
};

func cuttingRope(n int) int {
  if n < 4 {
    return n - 1
  }
  const mod = 1e9 + 7
  qpow := func(a, n int) int {
    ans := 1
    for ; n > 0; n >>= 1 {
      if n&1 == 1 {
        ans = ans * a % mod
      }
      a = a * a % mod
    }
    return ans
  }
  if n%3 == 0 {
    return qpow(3, n/3)
  }
  if n%3 == 1 {
    return qpow(3, n/3-1) * 4 % mod
  }
  return qpow(3, n/3) * 2 % mod
}

impl Solution {
  pub fn cutting_rope(mut n: i32) -> i32 {
    if n < 4 {
      return n - 1;
    }
    let mut res = 1i64;
    while n > 4 {
      res = (res * 3) % 1000000007;
      n -= 3;
    }
    ((res * (n as i64)) % 1000000007) as i32
  }
}

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function (n) {
  if (n < 4) {
    return n - 1;
  }
  const mod = 1e9 + 7;
  const qpow = (a, n) => {
    let ans = 1;
    for (; n; n >>= 1) {
      if (n & 1) {
        ans = Number((BigInt(ans) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
      }
      a = Number((BigInt(a) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
    }
    return ans;
  };
  const k = Math.floor(n / 3);
  if (n % 3 === 0) {
    return qpow(3, k);
  }
  if (n % 3 === 1) {
    return (4 * qpow(3, k - 1)) % mod;
  }
  return (2 * qpow(3, k)) % mod;
};

public class Solution {
  public int CuttingRope(int n) {
    if (n < 4) {
      return n - 1;
    }
    int res = 1;
    while (n > 4) {
      res *= 3;
      n -= 3;
    }
    if (n == 4) {
      return (res << 2) % 1000000007;
    }
    return (res * n) % 1000000007;
  }
}