Question

剑指 Offer II 097. 子序列的数目

题目描述

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

 

示例 1：

输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：
如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
rabbbit
rabbbit
rabbbit

示例 2：

输入：s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：
如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag

 

提示：

• 0 <= s.length, t.length <= 1000
• s 和 t 由英文字母组成

 

注意：本题与主站 115 题相同： https://leetcode.cn/problems/distinct-subsequences/

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示字符串 $s$ 的前 $i$ 个字符中，子序列构成字符串 $t$ 的前 $j$ 个字符的方案数。初始时 $f[i][0]=1$，其中 $i \in [0,m]$。

当 $i \gt 0$ 时，考虑 $f[i][j]$ 的计算：

• 当 $s[i-1] \ne t[j-1]$ 时，不能选取 $s[i-1]$，因此 $f[i][j]=f[i-1][j]$；
• 否则，可以选取 $s[i-1]$，此时 $f[i][j]=f[i-1][j-1]$。

因此我们有如下的状态转移方程：

$$ f[i][j]=\left{ \begin{aligned} &f[i-1][j], &s[i-1] \ne t[j-1] \ &f[i-1][j-1]+f[i-1][j], &s[i-1]=t[j-1] \end{aligned} \right. $$

最终的答案即为 $f[m][n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $s$ 和 $t$ 的长度。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。

我们注意到 $f[i][j]$ 的计算只和 $f[i-1][..]$ 有关，因此，我们可以优化掉第一维，这样空间复杂度可以降低到 $O(n)$。

class Solution:
  def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
    m, n = len(s), len(t)
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(m + 1):
      f[i][0] = 1
    for i, a in enumerate(s, 1):
      for j, b in enumerate(t, 1):
        f[i][j] = f[i - 1][j]
        if a == b:
          f[i][j] += f[i - 1][j - 1]
    return f[m][n]

class Solution {
  public int numDistinct(String s, String t) {
    int m = s.length(), n = t.length();
    int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
    for (int i = 0; i < m + 1; ++i) {
      f[i][0] = 1;
    }
    for (int i = 1; i < m + 1; ++i) {
      for (int j = 1; j < n + 1; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
          f[i][j] += f[i - 1][j - 1];
        }
      }
    }
    return f[m][n];
  }
}

class Solution {
public:
  int numDistinct(string s, string t) {
    int m = s.size(), n = t.size();
    unsigned long long f[m + 1][n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 0; i < m + 1; ++i) {
      f[i][0] = 1;
    }
    for (int i = 1; i < m + 1; ++i) {
      for (int j = 1; j < n + 1; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
          f[i][j] += f[i - 1][j - 1];
        }
      }
    }
    return f[m][n];
  }
};

func numDistinct(s string, t string) int {
  m, n := len(s), len(t)
  f := make([][]int, m+1)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n+1)
  }
  for i := 0; i <= m; i++ {
    f[i][0] = 1
  }
  for i := 1; i <= m; i++ {
    for j := 1; j <= n; j++ {
      f[i][j] = f[i-1][j]
      if s[i-1] == t[j-1] {
        f[i][j] += f[i-1][j-1]
      }
    }
  }
  return f[m][n]
}

function numDistinct(s: string, t: string): number {
  const m = s.length;
  const n = t.length;
  const f: number[][] = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
  for (let i = 0; i <= m; ++i) {
    f[i][0] = 1;
  }
  for (let i = 1; i <= m; ++i) {
    for (let j = 1; j <= n; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (s[i - 1] === t[j - 1]) {
        f[i][j] += f[i - 1][j - 1];
      }
    }
  }
  return f[m][n];
}

方法二

class Solution:
  def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
    n = len(t)
    f = [1] + [0] * n
    for a in s:
      for j in range(n, 0, -1):
        if a == t[j - 1]:
          f[j] += f[j - 1]
    return f[n]

class Solution {
  public int numDistinct(String s, String t) {
    int n = t.length();
    int[] f = new int[n + 1];
    f[0] = 1;
    for (char a : s.toCharArray()) {
      for (int j = n; j > 0; --j) {
        char b = t.charAt(j - 1);
        if (a == b) {
          f[j] += f[j - 1];
        }
      }
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  int numDistinct(string s, string t) {
    int n = t.size();
    unsigned long long f[n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0] = 1;
    for (char& a : s) {
      for (int j = n; j; --j) {
        char b = t[j - 1];
        if (a == b) {
          f[j] += f[j - 1];
        }
      }
    }
    return f[n];
  }
};

func numDistinct(s string, t string) int {
  n := len(t)
  f := make([]int, n+1)
  f[0] = 1
  for _, a := range s {
    for j := n; j > 0; j-- {
      if b := t[j-1]; byte(a) == b {
        f[j] += f[j-1]
      }
    }
  }
  return f[n]
}

function numDistinct(s: string, t: string): number {
  const n = t.length;
  const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  f[0] = 1;
  for (const a of s) {
    for (let j = n; j; --j) {
      const b = t[j - 1];
      if (a === b) {
        f[j] += f[j - 1];
      }
    }
  }
  return f[n];
}