Question

1067. 范围内的数字计数

English Version

题目描述

给定一个在 0 到 9 之间的整数 d，和两个正整数 low 和 high 分别作为上下界。返回 d 在 low 和 high 之间的整数中出现的次数，包括边界 low 和 high。

 

示例 1：

输入：d = 1, low = 1, high = 13
输出：6
解释： 
数字 d=1 在 1,10,11,12,13 中出现 6 次。注意 d=1 在数字 11 中出现两次。

示例 2：

输入：d = 3, low = 100, high = 250
输出：35
解释：
数字 d=3 在 103,113,123,130,131,...,238,239,243 出现 35 次。

 

提示：

1. 0 <= d <= 9
2. 1 <= low <= high <= 2×10^8

解法

方法一：数位 DP

这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，数字中出现 $d$ 的个数。个数与数的位数以及每一位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。

对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：

$$ ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i $$

这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

1. 将数字 $n$ 转为 int 数组 $a$，其中 $a[1]$ 为最低位，而 $a[len]$ 为最高位；
2. 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, cnt, lead, limit)$，答案为 $dfs(len, 0, true, true)$。

其中：

• pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；
• cnt 表示当前数字中包含 $d$ 的个数；
• lead 表示当前数字是否有前导零，如果有前导零，则 lead 为 true，否则为 false，初始化为 true；
• limit 表示可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $[0,1,..9]$，否则，只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 limit 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 limit 同样为 true；如果 limit 为 true 但是还没有取到最大值，或者 limit 为 false，那么下一个 limit 为 false。

关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。

时间复杂度 $O(\log m + \log n)$。其中 $m$, $n$ 分别为题目中的 low 和 high。

相似题目：

• 233. 数字 1 的个数

class Solution:
  def digitsCount(self, d: int, low: int, high: int) -> int:
    return self.f(high, d) - self.f(low - 1, d)

  def f(self, n, d):
    @cache
    def dfs(pos, cnt, lead, limit):
      if pos <= 0:
        return cnt
      up = a[pos] if limit else 9
      ans = 0
      for i in range(up + 1):
        if i == 0 and lead:
          ans += dfs(pos - 1, cnt, lead, limit and i == up)
        else:
          ans += dfs(pos - 1, cnt + (i == d), False, limit and i == up)
      return ans

    a = [0] * 11
    l = 0
    while n:
      l += 1
      a[l] = n % 10
      n //= 10
    return dfs(l, 0, True, True)

class Solution {
  private int d;
  private int[] a = new int[11];
  private int[][] dp = new int[11][11];

  public int digitsCount(int d, int low, int high) {
    this.d = d;
    return f(high) - f(low - 1);
  }

  private int f(int n) {
    for (var e : dp) {
      Arrays.fill(e, -1);
    }
    int len = 0;
    while (n > 0) {
      a[++len] = n % 10;
      n /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, true, true);
  }

  private int dfs(int pos, int cnt, boolean lead, boolean limit) {
    if (pos <= 0) {
      return cnt;
    }
    if (!lead && !limit && dp[pos][cnt] != -1) {
      return dp[pos][cnt];
    }
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (i == 0 && lead) {
        ans += dfs(pos - 1, cnt, lead, limit && i == up);
      } else {
        ans += dfs(pos - 1, cnt + (i == d ? 1 : 0), false, limit && i == up);
      }
    }
    if (!lead && !limit) {
      dp[pos][cnt] = ans;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int d;
  int a[11];
  int dp[11][11];

  int digitsCount(int d, int low, int high) {
    this->d = d;
    return f(high) - f(low - 1);
  }

  int f(int n) {
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    int len = 0;
    while (n) {
      a[++len] = n % 10;
      n /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, true, true);
  }

  int dfs(int pos, int cnt, bool lead, bool limit) {
    if (pos <= 0) {
      return cnt;
    }
    if (!lead && !limit && dp[pos][cnt] != -1) {
      return dp[pos][cnt];
    }
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (i == 0 && lead) {
        ans += dfs(pos - 1, cnt, lead, limit && i == up);
      } else {
        ans += dfs(pos - 1, cnt + (i == d), false, limit && i == up);
      }
    }
    if (!lead && !limit) {
      dp[pos][cnt] = ans;
    }
    return ans;
  }
};

func digitsCount(d int, low int, high int) int {
  f := func(n int) int {
    a := make([]int, 11)
    dp := make([][]int, 11)
    for i := range dp {
      dp[i] = make([]int, 11)
      for j := range dp[i] {
        dp[i][j] = -1
      }
    }
    l := 0
    for n > 0 {
      l++
      a[l] = n % 10
      n /= 10
    }

    var dfs func(int, int, bool, bool) int
    dfs = func(pos, cnt int, lead, limit bool) int {
      if pos <= 0 {
        return cnt
      }
      if !lead && !limit && dp[pos][cnt] != -1 {
        return dp[pos][cnt]
      }
      up := 9
      if limit {
        up = a[pos]
      }
      ans := 0
      for i := 0; i <= up; i++ {
        if i == 0 && lead {
          ans += dfs(pos-1, cnt, lead, limit && i == up)
        } else {
          t := cnt
          if d == i {
            t++
          }
          ans += dfs(pos-1, t, false, limit && i == up)
        }
      }
      if !lead && !limit {
        dp[pos][cnt] = ans
      }
      return ans
    }

    return dfs(l, 0, true, true)
  }
  return f(high) - f(low-1)
}