Question

2361. 乘坐火车路线的最少费用

English Version

题目描述

城市中的火车有两条路线，分别是常规路线和特快路线。两条路线经过 相同 的 n + 1 个车站，车站编号从 0 到 n。初始时，你位于车站 0 的常规路线。

给你两个 下标从 1 开始 、长度均为 n 的两个整数数组 regular 和 express ，其中 regular[i] 表示乘坐常规路线从车站 i - 1 到车站 i 的费用，express[i] 表示乘坐特快路线从车站 i - 1 到车站 i 的费用。

另外给你一个整数 expressCost，表示从常规路线转换到特快路线的费用。

注意：

• 从特快路线转换回常规路线没有费用。
• 每次 从常规路线转换到特快路线，你都需要支付 expressCost 的费用。
• 留在特快路线上没有额外费用。

返回 下标从 1 开始 、长度为 n 的数组 costs，其中 costs[i] 是从车站 0 到车站 i 的最少费用。

注意：每个车站都可以从任意一条路线 到达 。

 

示例 1：

输入：regular = [1,6,9,5], express = [5,2,3,10], expressCost = 8
输出：[1,7,14,19]
解释：上图展示了从车站 0 到车站 4 的最少费用方法。
- 乘坐常规路线从车站 0 到车站 1，费用是 1。
- 乘坐特快路线从车站 1 到车站 2，费用是 8 + 2 = 10。
- 乘坐特快路线从车站 2 到车站 3，费用是 3。
- 乘坐特快路线从车站 3 到车站 4，费用是 5。
总费用是 1 + 10 + 3 + 5 + 19。
注意到达其他车站的最少费用方法可以选择不同的路线。

示例 2：

输入：regular = [11,5,13], express = [7,10,6], expressCost = 3
输出：[10,15,24]
解释：上图展示了从车站 0 到车站 3 的最少费用方法。
- 乘坐特快路线从车站 0 到车站 1，费用是 3 + 7 = 10。
- 乘坐常规路线从车站 1 到车站 2，费用是 5。
- 乘坐特快路线从车站 2 到车站 3，费用是 3 + 6 = 9。
总费用是 10 + 5 + 9 = 24。
注意转换回特快路线时需要再次支付 expressCost 的费用。

 

提示：

• n == regular.length == express.length
• 1 <= n <= 105
• 1 <= regular[i], express[i], expressCost <= 105

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示从车站 $0$ 到车站 $i$ 且到达车站 $i$ 时乘坐常规路线的最少费用，定义 $g[i]$ 表示从车站 $0$ 到车站 $i$ 且到达车站 $i$ 时乘坐特快路线的最少费用。初始时 $f[0]=0, g[0]=\infty$。

接下来，我们考虑 $f[i]$ 和 $g[i]$ 如何进行状态转移。

如果我们到达车站 $i$ 乘坐的是常规路线，那么我们可以从车站 $i-1$ 乘坐常规路线或者从车站 $i-1$ 乘坐特快路线转换到常规路线。因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i]=\min{f[i-1]+a_i, g[i-1]+a_i} $$

其中 $a_i$ 表示从车站 $i-1$ 到车站 $i$ 乘坐常规路线的费用。

如果我们到达车站 $i$ 乘坐的是特快路线，那么我们可以从车站 $i-1$ 乘坐常规路线转换到特快路线或者从车站 $i-1$ 乘坐特快路线。因此我们可以得到状态转移方程：

$$ g[i]=\min{f[i-1]+expressCost+b_i, g[i-1]+b_i} $$

其中 $b_i$ 表示从车站 $i-1$ 到车站 $i$ 乘坐特快路线的费用。

我们记答案数组为 $cost$，其中 $cost[i]$ 表示从车站 $0$ 到车站 $i$ 的最少费用。由于我们可以从任意一条路线到达车站 $i$，因此我们有 $cost[i]=\min{f[i], g[i]}$。

最后返回 $cost$ 即可。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 表示车站的数量。

class Solution:
  def minimumCosts(
    self, regular: List[int], express: List[int], expressCost: int
  ) -> List[int]:
    n = len(regular)
    f = [0] * (n + 1)
    g = [inf] * (n + 1)
    cost = [0] * n
    for i, (a, b) in enumerate(zip(regular, express), 1):
      f[i] = min(f[i - 1] + a, g[i - 1] + a)
      g[i] = min(f[i - 1] + expressCost + b, g[i - 1] + b)
      cost[i - 1] = min(f[i], g[i])
    return cost

class Solution {
  public long[] minimumCosts(int[] regular, int[] express, int expressCost) {
    int n = regular.length;
    long[] f = new long[n + 1];
    long[] g = new long[n + 1];
    g[0] = 1 << 30;
    long[] cost = new long[n];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int a = regular[i - 1];
      int b = express[i - 1];
      f[i] = Math.min(f[i - 1] + a, g[i - 1] + a);
      g[i] = Math.min(f[i - 1] + expressCost + b, g[i - 1] + b);
      cost[i - 1] = Math.min(f[i], g[i]);
    }
    return cost;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<long long> minimumCosts(vector<int>& regular, vector<int>& express, int expressCost) {
    int n = regular.size();
    long long f[n + 1];
    long long g[n + 1];
    f[0] = 0;
    g[0] = 1 << 30;
    vector<long long> cost(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int a = regular[i - 1];
      int b = express[i - 1];
      f[i] = min(f[i - 1] + a, g[i - 1] + a);
      g[i] = min(f[i - 1] + expressCost + b, g[i - 1] + b);
      cost[i - 1] = min(f[i], g[i]);
    }
    return cost;
  }
};

func minimumCosts(regular []int, express []int, expressCost int) []int64 {
  n := len(regular)
  f := make([]int, n+1)
  g := make([]int, n+1)
  g[0] = 1 << 30
  cost := make([]int64, n)
  for i := 1; i <= n; i++ {
    a, b := regular[i-1], express[i-1]
    f[i] = min(f[i-1]+a, g[i-1]+a)
    g[i] = min(f[i-1]+expressCost+b, g[i-1]+b)
    cost[i-1] = int64(min(f[i], g[i]))
  }
  return cost
}

function minimumCosts(regular: number[], express: number[], expressCost: number): number[] {
  const n = regular.length;
  const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  const g: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  g[0] = 1 << 30;
  const cost: number[] = new Array(n).fill(0);
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    const [a, b] = [regular[i - 1], express[i - 1]];
    f[i] = Math.min(f[i - 1] + a, g[i - 1] + a);
    g[i] = Math.min(f[i - 1] + expressCost + b, g[i - 1] + b);
    cost[i - 1] = Math.min(f[i], g[i]);
  }
  return cost;
}

我们注意到 $f[i]$ 和 $g[i]$ 的状态转移方程中，我们只需要用到 $f[i-1]$ 和 $g[i-1]$，因此我们可以使用两个变量 $f$ 和 $g$ 分别记录 $f[i-1]$ 和 $g[i-1]$ 的值，这样可以将空间复杂度优化到 $O(1)$。

class Solution:
  def minimumCosts(
    self, regular: List[int], express: List[int], expressCost: int
  ) -> List[int]:
    n = len(regular)
    f, g = 0, inf
    cost = [0] * n
    for i, (a, b) in enumerate(zip(regular, express), 1):
      ff = min(f + a, g + a)
      gg = min(f + expressCost + b, g + b)
      f, g = ff, gg
      cost[i - 1] = min(f, g)
    return cost

class Solution {
  public long[] minimumCosts(int[] regular, int[] express, int expressCost) {
    int n = regular.length;
    long f = 0;
    long g = 1 << 30;
    long[] cost = new long[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int a = regular[i];
      int b = express[i];
      long ff = Math.min(f + a, g + a);
      long gg = Math.min(f + expressCost + b, g + b);
      f = ff;
      g = gg;
      cost[i] = Math.min(f, g);
    }
    return cost;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<long long> minimumCosts(vector<int>& regular, vector<int>& express, int expressCost) {
    int n = regular.size();
    long long f = 0;
    long long g = 1 << 30;
    vector<long long> cost(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int a = regular[i];
      int b = express[i];
      long long ff = min(f + a, g + a);
      long long gg = min(f + expressCost + b, g + b);
      f = ff;
      g = gg;
      cost[i] = min(f, g);
    }
    return cost;
  }
};

func minimumCosts(regular []int, express []int, expressCost int) []int64 {
  f, g := 0, 1<<30
  cost := make([]int64, len(regular))
  for i, a := range regular {
    b := express[i]
    ff := min(f+a, g+a)
    gg := min(f+expressCost+b, g+b)
    f, g = ff, gg
    cost[i] = int64(min(f, g))
  }
  return cost
}

function minimumCosts(regular: number[], express: number[], expressCost: number): number[] {
  const n = regular.length;
  let f = 0;
  let g = 1 << 30;
  const cost: number[] = new Array(n).fill(0);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    const [a, b] = [regular[i], express[i]];
    const ff = Math.min(f + a, g + a);
    const gg = Math.min(f + expressCost + b, g + b);
    [f, g] = [ff, gg];
    cost[i] = Math.min(f, g);
  }
  return cost;
}