Question

1641. 统计字典序元音字符串的数目

English Version

题目描述

给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按 字典序排列 的字符串数量。

字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。

 

示例 1：

输入：n = 1
输出：5
解释：仅由元音组成的 5 个字典序字符串为 ["a","e","i","o","u"]

示例 2：

输入：n = 2
输出：15
解释：仅由元音组成的 15 个字典序字符串为
["aa","ae","ai","ao","au","ee","ei","eo","eu","ii","io","iu","oo","ou","uu"]
注意，"ea" 不是符合题意的字符串，因为 'e' 在字母表中的位置比 'a' 靠后

示例 3：

输入：n = 33
输出：66045

 

提示：

• 1 <= n <= 50 

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示当前已经选了 $i$ 个元音字母，且最后一个元音字母是 $j$ 的方案数。那么答案就是 $dfs(0, 0)$。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：

• 如果 $i \ge n$，说明已经选了 $n$ 个元音字母，返回 $1$。
• 否则，枚举 $j$ 后面的元音字母，即 $k \in [j, 4]$，并将 $dfs(i + 1, k)$ 的结果累加，即 $dfs(i, j) = \sum_{k = j}^4 dfs(i + 1, k)$。

过程中，我们可以使用记忆化搜索，将已经计算过的 $dfs(i, j)$ 的结果保存起来，避免重复计算。

时间复杂度 $O(n \times C^2)$，空间复杂度 $O(n \times C)$。其中 $n$ 为题目给定的整数，而 $C$ 是元音字母的数量，本题中 $C = 5$。

class Solution:
  def countVowelStrings(self, n: int) -> int:
    @cache
    def dfs(i, j):
      return 1 if i >= n else sum(dfs(i + 1, k) for k in range(j, 5))

    return dfs(0, 0)

class Solution {
  private Integer[][] f;
  private int n;

  public int countVowelStrings(int n) {
    this.n = n;
    f = new Integer[n][5];
    return dfs(0, 0);
  }

  private int dfs(int i, int j) {
    if (i >= n) {
      return 1;
    }
    if (f[i][j] != null) {
      return f[i][j];
    }
    int ans = 0;
    for (int k = j; k < 5; ++k) {
      ans += dfs(i + 1, k);
    }
    return f[i][j] = ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int countVowelStrings(int n) {
    int f[n][5];
    memset(f, 0, sizeof f);
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) {
      if (i >= n) {
        return 1;
      }
      if (f[i][j]) {
        return f[i][j];
      }
      int ans = 0;
      for (int k = j; k < 5; ++k) {
        ans += dfs(i + 1, k);
      }
      return f[i][j] = ans;
    };
    return dfs(0, 0);
  }
};

func countVowelStrings(n int) int {
  f := make([][5]int, n)
  var dfs func(i, j int) int
  dfs = func(i, j int) int {
    if i >= n {
      return 1
    }
    if f[i][j] != 0 {
      return f[i][j]
    }
    ans := 0
    for k := j; k < 5; k++ {
      ans += dfs(i+1, k)
    }
    f[i][j] = ans
    return ans
  }
  return dfs(0, 0)
}

方法二：动态规划 + 前缀和

定义 $f[i][j]$ 表示当前已经选了 $i$ 个元音字母，且最后一个元音字母是 $j$ 的方案数。初始时 $f[1][j]=1$。答案是 $\sum_{j = 0}^4 f[n][j]$。

我们可以发现 $f[i][j]$ 只与 $f[i - 1][j]$ 有关，因此可以将二维数组压缩为一维数组，从而优化空间复杂度。

时间复杂度 $O(n \times C)$，空间复杂度 $O(C)$。其中 $n$ 为题目给定的整数，而 $C$ 是元音字母的数量，本题中 $C = 5$。

class Solution:
  def countVowelStrings(self, n: int) -> int:
    f = [1] * 5
    for _ in range(n - 1):
      s = 0
      for j in range(5):
        s += f[j]
        f[j] = s
    return sum(f)

class Solution {
  public int countVowelStrings(int n) {
    int[] f = {1, 1, 1, 1, 1};
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
      int s = 0;
      for (int j = 0; j < 5; ++j) {
        s += f[j];
        f[j] = s;
      }
    }
    return Arrays.stream(f).sum();
  }
}

class Solution {
public:
  int countVowelStrings(int n) {
    int f[5] = {1, 1, 1, 1, 1};
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
      int s = 0;
      for (int j = 0; j < 5; ++j) {
        s += f[j];
        f[j] = s;
      }
    }
    return accumulate(f, f + 5, 0);
  }
};

func countVowelStrings(n int) (ans int) {
  f := [5]int{1, 1, 1, 1, 1}
  for i := 0; i < n-1; i++ {
    s := 0
    for j := 0; j < 5; j++ {
      s += f[j]
      f[j] = s
    }
  }
  for _, v := range f {
    ans += v
  }
  return
}