Question

2328. 网格图中递增路径的数目

English Version

题目描述

给你一个 m x n 的整数网格图 grid ，你可以从一个格子移动到 4 个方向相邻的任意一个格子。

请你返回在网格图中从 任意 格子出发，达到 任意 格子，且路径中的数字是 严格递增 的路径数目。由于答案可能会很大，请将结果对 109 + 7 取余 后返回。

如果两条路径中访问过的格子不是完全相同的，那么它们视为两条不同的路径。

 

示例 1：

输入：grid = [[1,1],[3,4]]
输出：8
解释：严格递增路径包括：
- 长度为 1 的路径：[1]，[1]，[3]，[4] 。
- 长度为 2 的路径：[1 -> 3]，[1 -> 4]，[3 -> 4] 。
- 长度为 3 的路径：[1 -> 3 -> 4] 。
路径数目为 4 + 3 + 1 = 8 。

示例 2：

输入：grid = [[1],[2]]
输出：3
解释：严格递增路径包括：
- 长度为 1 的路径：[1]，[2] 。
- 长度为 2 的路径：[1 -> 2] 。
路径数目为 2 + 1 = 3 。

 

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 1000
• 1 <= m * n <= 105
• 1 <= grid[i][j] <= 105

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示从网格图中的第 $i$ 行第 $j$ 列的格子出发，能够到达任意格子的严格递增路径数目。那么答案就是 $\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} dfs(i, j)$。搜索过程中，我们可以用一个二维数组 $f$ 记录已经计算过的结果，避免重复计算。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：

• 如果 $f[i][j]$ 不为 $0$，说明已经计算过，直接返回 $f[i][j]$；
• 否则，我们初始化 $f[i][j] = 1$，然后枚举 $(i, j)$ 的四个方向，如果某个方向的格子 $(x, y)$ 满足 $0 \leq x \lt m$, $0 \leq y \lt n$ 且 $grid[i][j] \lt grid[x][y]$，我们就可以从格子 $(i, j)$ 出发，到达格子 $(x, y)$，且路径上的数字是严格递增的，因此有 $f[i][j] += dfs(x, y)$。

最后，我们返回 $f[i][j]$。

答案为 $\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} dfs(i, j)$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是网格图的行数和列数。

相似题目：

• 329. 矩阵中的最长递增路径。

class Solution:
  def countPaths(self, grid: List[List[int]]) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int, j: int) -> int:
      ans = 1
      for a, b in pairwise((-1, 0, 1, 0, -1)):
        x, y = i + a, j + b
        if 0 <= x < m and 0 <= y < n and grid[i][j] < grid[x][y]:
          ans = (ans + dfs(x, y)) % mod
      return ans

    mod = 10**9 + 7
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    return sum(dfs(i, j) for i in range(m) for j in range(n)) % mod

class Solution {
  private int[][] f;
  private int[][] grid;
  private int m;
  private int n;
  private final int mod = (int) 1e9 + 7;

  public int countPaths(int[][] grid) {
    m = grid.length;
    n = grid[0].length;
    this.grid = grid;
    f = new int[m][n];
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
      }
    }
    return ans;
  }

  private int dfs(int i, int j) {
    if (f[i][j] != 0) {
      return f[i][j];
    }
    int ans = 1;
    int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
    for (int k = 0; k < 4; ++k) {
      int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
      if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
        ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
      }
    }
    return f[i][j] = ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int countPaths(vector<vector<int>>& grid) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    int m = grid.size(), n = grid[0].size();
    int f[m][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
      if (f[i][j]) {
        return f[i][j];
      }
      int ans = 1;
      int dirs[5] = {-1, 0, 1, 0, -1};
      for (int k = 0; k < 4; ++k) {
        int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
        if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
          ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
        }
      }
      return f[i][j] = ans;
    };
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func countPaths(grid [][]int) (ans int) {
  const mod = 1e9 + 7
  m, n := len(grid), len(grid[0])
  f := make([][]int, m)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
  }
  var dfs func(int, int) int
  dfs = func(i, j int) int {
    if f[i][j] != 0 {
      return f[i][j]
    }
    f[i][j] = 1
    dirs := [5]int{-1, 0, 1, 0, -1}
    for k := 0; k < 4; k++ {
      x, y := i+dirs[k], j+dirs[k+1]
      if x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y] {
        f[i][j] = (f[i][j] + dfs(x, y)) % mod
      }
    }
    return f[i][j]
  }
  for i, row := range grid {
    for j := range row {
      ans = (ans + dfs(i, j)) % mod
    }
  }
  return
}

function countPaths(grid: number[][]): number {
  const mod = 1e9 + 7;
  const m = grid.length;
  const n = grid[0].length;
  const f = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
  const dfs = (i: number, j: number): number => {
    if (f[i][j]) {
      return f[i][j];
    }
    let ans = 1;
    const dirs: number[] = [-1, 0, 1, 0, -1];
    for (let k = 0; k < 4; ++k) {
      const x = i + dirs[k];
      const y = j + dirs[k + 1];
      if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
        ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
      }
    }
    return (f[i][j] = ans);
  };
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
    }
  }
  return ans;
}