Question

188. 买卖股票的最佳时机 IV

English Version

题目描述

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i_ _天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

 

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
   随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

 

提示：

• 1 <= k <= 100
• 1 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j, k)$，表示从第 $i$ 天开始，最多完成 $j$ 笔交易，以及当前持有股票的状态为 $k$（不持有股票用 $0$ 表示，持有股票用 $1$ 表示）时，所能获得的最大利润。答案即为 $dfs(0, k, 0)$。

函数 $dfs(i, j, k)$ 的执行逻辑如下：

• 如果 $i$ 大于等于 $n$，直接返回 $0$；
• 第 $i$ 天可以不进行任何操作，那么 $dfs(i, j, k) = dfs(i + 1, j, k)$；
• 如果 $k \gt 0$，那么第 $i$ 天可以选择卖出股票，那么 $dfs(i, j, k) = \max(dfs(i + 1, j - 1, 0) + prices[i], dfs(i + 1, j, k))$；
• 否则，如果 $j \gt 0$，那么第 $i$ 天可以选择买入股票，那么 $dfs(i, j, k) = \max(dfs(i + 1, j - 1, 1) - prices[i], dfs(i + 1, j, k))$。

取上述三种情况的最大值即为 $dfs(i, j, k)$ 的值。

过程中，我们可以使用记忆化搜索的方法，将每次计算的结果保存下来，避免重复计算。

时间复杂度 $O(n \times k)$，空间复杂度 $O(n \times k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别为数组 $prices$ 的长度和 $k$ 的值。

class Solution:
  def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int, j: int, k: int) -> int:
      if i >= len(prices):
        return 0
      ans = dfs(i + 1, j, k)
      if k:
        ans = max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0))
      elif j:
        ans = max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1))
      return ans

    return dfs(0, k, 0)

class Solution {
  private Integer[][][] f;
  private int[] prices;
  private int n;

  public int maxProfit(int k, int[] prices) {
    n = prices.length;
    this.prices = prices;
    f = new Integer[n][k + 1][2];
    return dfs(0, k, 0);
  }

  private int dfs(int i, int j, int k) {
    if (i >= n) {
      return 0;
    }
    if (f[i][j][k] != null) {
      return f[i][j][k];
    }
    int ans = dfs(i + 1, j, k);
    if (k > 0) {
      ans = Math.max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0));
    } else if (j > 0) {
      ans = Math.max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1));
    }
    return f[i][j][k] = ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
    int n = prices.size();
    int f[n][k + 1][2];
    memset(f, -1, sizeof(f));
    function<int(int, int, int)> dfs = [&](int i, int j, int k) -> int {
      if (i >= n) {
        return 0;
      }
      if (f[i][j][k] != -1) {
        return f[i][j][k];
      }
      int ans = dfs(i + 1, j, k);
      if (k) {
        ans = max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0));
      } else if (j) {
        ans = max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1));
      }
      return f[i][j][k] = ans;
    };
    return dfs(0, k, 0);
  }
};

func maxProfit(k int, prices []int) int {
  n := len(prices)
  f := make([][][2]int, n)
  for i := range f {
    f[i] = make([][2]int, k+1)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = [2]int{-1, -1}
    }
  }
  var dfs func(i, j, k int) int
  dfs = func(i, j, k int) int {
    if i >= n {
      return 0
    }
    if f[i][j][k] != -1 {
      return f[i][j][k]
    }
    ans := dfs(i+1, j, k)
    if k > 0 {
      ans = max(ans, prices[i]+dfs(i+1, j, 0))
    } else if j > 0 {
      ans = max(ans, -prices[i]+dfs(i+1, j-1, 1))
    }
    f[i][j][k] = ans
    return ans
  }
  return dfs(0, k, 0)
}

function maxProfit(k: number, prices: number[]): number {
  const n = prices.length;
  const f = Array.from({ length: n }, () =>
    Array.from({ length: k + 1 }, () => Array.from({ length: 2 }, () => -1)),
  );
  const dfs = (i: number, j: number, k: number): number => {
    if (i >= n) {
      return 0;
    }
    if (f[i][j][k] !== -1) {
      return f[i][j][k];
    }
    let ans = dfs(i + 1, j, k);
    if (k) {
      ans = Math.max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0));
    } else if (j) {
      ans = Math.max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1));
    }
    return (f[i][j][k] = ans);
  };
  return dfs(0, k, 0);
}

public class Solution {
  private int[,,] f;
  private int[] prices;
  private int n;

  public int MaxProfit(int k, int[] prices) {
    n = prices.Length;
    f = new int[n, k + 1, 2];
    this.prices = prices;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j <= k; ++j) {
        f[i, j, 0] = -1;
        f[i, j, 1] = -1;
      }
    }
    return dfs(0, k, 0);
  }

  private int dfs(int i, int j, int k) {
    if (i >= n) {
      return 0;
    }
    if (f[i, j, k] != -1) {
      return f[i, j, k];
    }
    int ans = dfs(i + 1, j, k);
    if (k > 0) {
      ans = Math.Max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0));
    }
    else if (j > 0) {
      ans = Math.Max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1));
    }
    return f[i, j, k] = ans;
  }
}

方法二：动态规划

我们也可以使用动态规划的方法，定义 $f[i][j][k]$ 表示到第 $i$ 天时，最多交易 $j$ 次（这里我们规定交易次数等于买入次数），且当前持有股票的状态为 $k$ 时，所能获得的最大利润。初始时 $f[i][j][k]=0$。答案即为 $f[n - 1][k][0]$。

当 $i = 0$ 时，股票价格为 $prices[0]$，那么对任意 $j \in [1, k]$，我们有 $f[0][j][1] = -prices[0]$，表示第 $0$ 天买入股票，此时利润为 $-prices[0]$。

当 $i \gt 0$ 时：

• 如果第 $i$ 天不持有股票，可能是第 $i-1$ 天持有股票并且在第 $i$ 天卖出；或者第 $i-1$ 天没持有股票并且第 $i$ 天不进行任何操作。因此 $f[i][j][0] = \max(f[i - 1][j][1] + prices[i], f[i - 1][j][0])$；
• 如果第 $i$ 天持有股票，可能是第 $i-1$ 天没持有股票并且在第 $i$ 天买入；或者第 $i-1$ 天持有股票并且第 $i$ 天不进行任何操作。因此 $f[i][j][1] = \max(f[i - 1][j - 1][0] - prices[i], f[i - 1][j][1])$。

综上，当 $i \gt 0$ 时，我们可以得到状态转移方程：

$$ \begin{aligned} f[i][j][0] &= \max(f[i - 1][j][1] + prices[i], f[i - 1][j][0]) \ f[i][j][1] &= \max(f[i - 1][j - 1][0] - prices[i], f[i - 1][j][1]) \end{aligned} $$

最后答案即为 $f[n - 1][k][0]$。

时间复杂度 $O(n \times k)$，空间复杂度 $O(n \times k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别为数组 $prices$ 的长度和 $k$ 的值。

我们注意到，状态 $f[i][]$ 只与状态 $f[i - 1][]$ 有关，因此我们可以优化掉第一维的空间，将空间复杂度降至 $O(k)$。

class Solution:
  def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
    n = len(prices)
    f = [[[0] * 2 for _ in range(k + 1)] for _ in range(n)]
    for j in range(1, k + 1):
      f[0][j][1] = -prices[0]
    for i, x in enumerate(prices[1:], 1):
      for j in range(1, k + 1):
        f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][1] + x, f[i - 1][j][0])
        f[i][j][1] = max(f[i - 1][j - 1][0] - x, f[i - 1][j][1])
    return f[n - 1][k][0]

class Solution {
  public int maxProfit(int k, int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[][][] f = new int[n][k + 1][2];
    for (int j = 1; j <= k; ++j) {
      f[0][j][1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        f[i][j][0] = Math.max(f[i - 1][j][1] + prices[i], f[i - 1][j][0]);
        f[i][j][1] = Math.max(f[i - 1][j - 1][0] - prices[i], f[i - 1][j][1]);
      }
    }
    return f[n - 1][k][0];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
    int n = prices.size();
    int f[n][k + 1][2];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int j = 1; j <= k; ++j) {
      f[0][j][1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][1] + prices[i], f[i - 1][j][0]);
        f[i][j][1] = max(f[i - 1][j - 1][0] - prices[i], f[i - 1][j][1]);
      }
    }
    return f[n - 1][k][0];
  }
};

func maxProfit(k int, prices []int) int {
  n := len(prices)
  f := make([][][2]int, n)
  for i := range f {
    f[i] = make([][2]int, k+1)
  }
  for j := 1; j <= k; j++ {
    f[0][j][1] = -prices[0]
  }
  for i := 1; i < n; i++ {
    for j := 1; j <= k; j++ {
      f[i][j][0] = max(f[i-1][j][1]+prices[i], f[i-1][j][0])
      f[i][j][1] = max(f[i-1][j-1][0]-prices[i], f[i-1][j][1])
    }
  }
  return f[n-1][k][0]
}

function maxProfit(k: number, prices: number[]): number {
  const n = prices.length;
  const f = Array.from({ length: n }, () =>
    Array.from({ length: k + 1 }, () => Array.from({ length: 2 }, () => 0)),
  );
  for (let j = 1; j <= k; ++j) {
    f[0][j][1] = -prices[0];
  }
  for (let i = 1; i < n; ++i) {
    for (let j = 1; j <= k; ++j) {
      f[i][j][0] = Math.max(f[i - 1][j][1] + prices[i], f[i - 1][j][0]);
      f[i][j][1] = Math.max(f[i - 1][j - 1][0] - prices[i], f[i - 1][j][1]);
    }
  }
  return f[n - 1][k][0];
}

public class Solution {
  public int MaxProfit(int k, int[] prices) {
    int n = prices.Length;
    int[,,] f = new int[n, k + 1, 2];
    for (int j = 1; j <= k; ++j) {
      f[0, j, 1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        f[i, j, 0] = Math.Max(f[i - 1, j, 1] + prices[i], f[i - 1, j, 0]);
        f[i, j, 1] = Math.Max(f[i - 1, j - 1, 0] - prices[i], f[i - 1, j, 1]);
      }
    }
    return f[n - 1, k, 0];
  }
}

方法三

class Solution:
  def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
    f = [[0] * 2 for _ in range(k + 1)]
    for j in range(1, k + 1):
      f[j][1] = -prices[0]
    for x in prices[1:]:
      for j in range(k, 0, -1):
        f[j][0] = max(f[j][1] + x, f[j][0])
        f[j][1] = max(f[j - 1][0] - x, f[j][1])
    return f[k][0]

class Solution {
  public int maxProfit(int k, int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[][] f = new int[k + 1][2];
    for (int j = 1; j <= k; ++j) {
      f[j][1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      for (int j = k; j > 0; --j) {
        f[j][0] = Math.max(f[j][1] + prices[i], f[j][0]);
        f[j][1] = Math.max(f[j - 1][0] - prices[i], f[j][1]);
      }
    }
    return f[k][0];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
    int n = prices.size();
    int f[k + 1][2];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int j = 1; j <= k; ++j) {
      f[j][1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      for (int j = k; j; --j) {
        f[j][0] = max(f[j][1] + prices[i], f[j][0]);
        f[j][1] = max(f[j - 1][0] - prices[i], f[j][1]);
      }
    }
    return f[k][0];
  }
};

func maxProfit(k int, prices []int) int {
  f := make([][2]int, k+1)
  for j := 1; j <= k; j++ {
    f[j][1] = -prices[0]
  }
  for _, x := range prices[1:] {
    for j := k; j > 0; j-- {
      f[j][0] = max(f[j][1]+x, f[j][0])
      f[j][1] = max(f[j-1][0]-x, f[j][1])
    }
  }
  return f[k][0]
}

function maxProfit(k: number, prices: number[]): number {
  const f = Array.from({ length: k + 1 }, () => Array.from({ length: 2 }, () => 0));
  for (let j = 1; j <= k; ++j) {
    f[j][1] = -prices[0];
  }
  for (const x of prices.slice(1)) {
    for (let j = k; j; --j) {
      f[j][0] = Math.max(f[j][1] + x, f[j][0]);
      f[j][1] = Math.max(f[j - 1][0] - x, f[j][1]);
    }
  }
  return f[k][0];
}

public class Solution {
  public int MaxProfit(int k, int[] prices) {
    int n = prices.Length;
    int[,] f = new int[k + 1, 2];
    for (int j = 1; j <= k; ++j) {
      f[j, 1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      for (int j = k; j > 0; --j) {
        f[j, 0] = Math.Max(f[j, 1] + prices[i], f[j, 0]);
        f[j, 1] = Math.Max(f[j - 1, 0] - prices[i], f[j, 1]);
      }
    }
    return f[k, 0];
  }
}