Question

1011. 在 D 天内送达包裹的能力

English Version

题目描述

传送带上的包裹必须在 days 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 i 个包裹的重量为 weights[i]。每一天，我们都会按给出重量（weights）的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在 days 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

 

示例 1：

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], days = 5
输出：15
解释：
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。 

示例 2：

输入：weights = [3,2,2,4,1,4], days = 3
输出：6
解释：
船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：3, 2
第 2 天：2, 4
第 3 天：1, 4

示例 3：

输入：weights = [1,2,3,1,1], days = 4
输出：3
解释：
第 1 天：1
第 2 天：2
第 3 天：3
第 4 天：1, 1

 

提示：

• 1 <= days <= weights.length <= 5 * 104
• 1 <= weights[i] <= 500

解法

方法一：二分查找

我们注意到，如果运载能力 $x$ 能够在 $days$ 天内运送完所有包裹，那么运载能力 $x + 1$ 也能在 $days$ 天内运送完所有包裹。也即是说，随着运载能力的增加，运送天数只会减少，不会增加。这存在一个单调性，因此我们可以使用二分查找的方法来寻找最小的运载能力。

我们定义二分查找的左边界 $left= \max\limits_{i=0}^{n-1} weights[i]$，右边界 $right = \sum\limits_{i=0}^{n-1} weights[i]$。然后二分枚举运载能力 $x$，判断是否能在 $days$ 天内运送完所有包裹。如果能，那么我们将右边界调整为 $x$，否则将左边界调整为 $x + 1$。

判断是否能在 $days$ 天内运送完所有包裹的方法是，我们从左到右遍历包裹，将当前包裹加入当前运载能力的船上，如果当前船的运载能力超过了 $x$，那么我们将当前包裹放到下一天的船上，同时天数加一。如果天数超过了 $days$，那么我们返回 $false$，否则返回 $true$。

时间复杂度 $O(n \times \log \sum\limits_{i=0}^{n-1} weights[i])$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 为包裹数量。

class Solution:
  def shipWithinDays(self, weights: List[int], days: int) -> int:
    def check(mx):
      ws, cnt = 0, 1
      for w in weights:
        ws += w
        if ws > mx:
          cnt += 1
          ws = w
      return cnt <= days

    left, right = max(weights), sum(weights) + 1
    return left + bisect_left(range(left, right), True, key=check)

class Solution {
  public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
    int left = 0, right = 0;
    for (int w : weights) {
      left = Math.max(left, w);
      right += w;
    }
    while (left < right) {
      int mid = (left + right) >> 1;
      if (check(mid, weights, days)) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return left;
  }

  private boolean check(int mx, int[] weights, int days) {
    int ws = 0, cnt = 1;
    for (int w : weights) {
      ws += w;
      if (ws > mx) {
        ws = w;
        ++cnt;
      }
    }
    return cnt <= days;
  }
}

class Solution {
public:
  int shipWithinDays(vector<int>& weights, int days) {
    int left = 0, right = 0;
    for (auto& w : weights) {
      left = max(left, w);
      right += w;
    }
    auto check = [&](int mx) {
      int ws = 0, cnt = 1;
      for (auto& w : weights) {
        ws += w;
        if (ws > mx) {
          ws = w;
          ++cnt;
        }
      }
      return cnt <= days;
    };
    while (left < right) {
      int mid = (left + right) >> 1;
      if (check(mid)) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return left;
  }
};

func shipWithinDays(weights []int, days int) int {
  var left, right int
  for _, w := range weights {
    if left < w {
      left = w
    }
    right += w
  }
  return left + sort.Search(right, func(mx int) bool {
    mx += left
    ws, cnt := 0, 1
    for _, w := range weights {
      ws += w
      if ws > mx {
        ws = w
        cnt++
      }
    }
    return cnt <= days
  })
}

function shipWithinDays(weights: number[], days: number): number {
  let left = 0;
  let right = 0;
  for (const w of weights) {
    left = Math.max(left, w);
    right += w;
  }
  const check = (mx: number) => {
    let ws = 0;
    let cnt = 1;
    for (const w of weights) {
      ws += w;
      if (ws > mx) {
        ws = w;
        ++cnt;
      }
    }
    return cnt <= days;
  };
  while (left < right) {
    const mid = (left + right) >> 1;
    if (check(mid)) {
      right = mid;
    } else {
      left = mid + 1;
    }
  }
  return left;
}