Question

980. 不同路径 III

English Version

题目描述

在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：

• 1 表示起始方格。且只有一个起始方格。
• 2 表示结束方格，且只有一个结束方格。
• 0 表示我们可以走过的空方格。
• -1 表示我们无法跨越的障碍。

返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。

每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。

 

示例 1：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

示例 2：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
输出：4
解释：我们有以下四条路径： 
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)

示例 3：

输入：[[0,1],[2,0]]
输出：0
解释：
没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。

 

提示：

• 1 <= grid.length * grid[0].length <= 20

解法

方法一：回溯

我们可以先遍历整个网格，找出起点 $(x, y)$，并且统计空白格的数量 $cnt$。

接下来，我们可以从起点开始搜索，得到所有的路径数。我们设计一个函数 $dfs(i, j, k)$ 表示从 $(i, j)$ 出发，且当前已经走过的单元格数量为 $k$ 的路径数。

在函数中，我们首先判断当前单元格是否为终点，如果是，则判断 $k$ 是否等于 $cnt + 1$，如果是，则说明当前路径是一条有效路径，返回 $1$，否则返回 $0$。

如果当前单元格不是终点，则我们枚举当前单元格的上下左右四个邻接单元格，如果邻接单元格未被访问过，则我们将该邻接单元格标记为已访问，然后继续搜索从该邻接单元格出发的路径数，搜索完成后，我们再将该邻接单元格标记为未访问。在搜索完成后，我们返回所有邻接单元格的路径数之和。

最后，我们返回从起点出发的路径数即可，即 $dfs(x, y, 1)$。

时间复杂度 $O(3^{m \times n})$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为网格的行数和列数。

class Solution:
  def uniquePathsIII(self, grid: List[List[int]]) -> int:
    def dfs(i: int, j: int, k: int) -> int:
      if grid[i][j] == 2:
        return int(k == cnt + 1)
      ans = 0
      for a, b in pairwise(dirs):
        x, y = i + a, j + b
        if 0 <= x < m and 0 <= y < n and (x, y) not in vis and grid[x][y] != -1:
          vis.add((x, y))
          ans += dfs(x, y, k + 1)
          vis.remove((x, y))
      return ans

    m, n = len(grid), len(grid[0])
    start = next((i, j) for i in range(m) for j in range(n) if grid[i][j] == 1)
    dirs = (-1, 0, 1, 0, -1)
    cnt = sum(row.count(0) for row in grid)
    vis = {start}
    return dfs(*start, 0)

class Solution {
  private int m;
  private int n;
  private int cnt;
  private int[][] grid;
  private boolean[][] vis;

  public int uniquePathsIII(int[][] grid) {
    m = grid.length;
    n = grid[0].length;
    this.grid = grid;
    int x = 0, y = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (grid[i][j] == 0) {
          ++cnt;
        } else if (grid[i][j] == 1) {
          x = i;
          y = j;
        }
      }
    }
    vis = new boolean[m][n];
    vis[x][y] = true;
    return dfs(x, y, 0);
  }

  private int dfs(int i, int j, int k) {
    if (grid[i][j] == 2) {
      return k == cnt + 1 ? 1 : 0;
    }
    int ans = 0;
    int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
    for (int h = 0; h < 4; ++h) {
      int x = i + dirs[h], y = j + dirs[h + 1];
      if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && !vis[x][y] && grid[x][y] != -1) {
        vis[x][y] = true;
        ans += dfs(x, y, k + 1);
        vis[x][y] = false;
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int uniquePathsIII(vector<vector<int>>& grid) {
    int m = grid.size(), n = grid[0].size();
    int cnt = 0;
    for (auto& row : grid) {
      for (auto& x : row) {
        cnt += x == 0;
      }
    }
    int dirs[5] = {-1, 0, 1, 0, -1};
    bool vis[m][n];
    memset(vis, false, sizeof vis);
    function<int(int, int, int)> dfs = [&](int i, int j, int k) -> int {
      if (grid[i][j] == 2) {
        return k == cnt + 1 ? 1 : 0;
      }
      int ans = 0;
      for (int h = 0; h < 4; ++h) {
        int x = i + dirs[h], y = j + dirs[h + 1];
        if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && !vis[x][y] && grid[x][y] != -1) {
          vis[x][y] = true;
          ans += dfs(x, y, k + 1);
          vis[x][y] = false;
        }
      }
      return ans;
    };
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (grid[i][j] == 1) {
          vis[i][j] = true;
          return dfs(i, j, 0);
        }
      }
    }
    return 0;
  }
};

func uniquePathsIII(grid [][]int) int {
  m, n := len(grid), len(grid[0])
  cnt := 0
  vis := make([][]bool, m)
  x, y := 0, 0
  for i, row := range grid {
    vis[i] = make([]bool, n)
    for j, v := range row {
      if v == 0 {
        cnt++
      } else if v == 1 {
        x, y = i, j
      }
    }
  }
  dirs := [5]int{-1, 0, 1, 0, -1}
  var dfs func(i, j, k int) int
  dfs = func(i, j, k int) int {
    if grid[i][j] == 2 {
      if k == cnt+1 {
        return 1
      }
      return 0
    }
    ans := 0
    for h := 0; h < 4; h++ {
      x, y := i+dirs[h], j+dirs[h+1]
      if x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && !vis[x][y] && grid[x][y] != -1 {
        vis[x][y] = true
        ans += dfs(x, y, k+1)
        vis[x][y] = false
      }
    }
    return ans
  }
  vis[x][y] = true
  return dfs(x, y, 0)
}

function uniquePathsIII(grid: number[][]): number {
  const m = grid.length;
  const n = grid[0].length;
  let [x, y] = [0, 0];
  let cnt = 0;
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (grid[i][j] === 0) {
        ++cnt;
      } else if (grid[i][j] == 1) {
        [x, y] = [i, j];
      }
    }
  }
  const vis: boolean[][] = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(false));
  vis[x][y] = true;
  const dirs = [-1, 0, 1, 0, -1];
  const dfs = (i: number, j: number, k: number): number => {
    if (grid[i][j] === 2) {
      return k === cnt + 1 ? 1 : 0;
    }
    let ans = 0;
    for (let d = 0; d < 4; ++d) {
      const [x, y] = [i + dirs[d], j + dirs[d + 1]];
      if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && !vis[x][y] && grid[x][y] !== -1) {
        vis[x][y] = true;
        ans += dfs(x, y, k + 1);
        vis[x][y] = false;
      }
    }
    return ans;
  };
  return dfs(x, y, 0);
}