Question

1690. 石子游戏 VII

English Version

题目描述

石子游戏中，爱丽丝和鲍勃轮流进行自己的回合，爱丽丝先开始 。

有 n 块石子排成一排。每个玩家的回合中，可以从行中 移除 最左边的石头或最右边的石头，并获得与该行中剩余石头值之 和 相等的得分。当没有石头可移除时，得分较高者获胜。

鲍勃发现他总是输掉游戏（可怜的鲍勃，他总是输），所以他决定尽力 减小得分的差值 。爱丽丝的目标是最大限度地 扩大得分的差值 。

给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 表示 从左边开始 的第 i 个石头的值，如果爱丽丝和鲍勃都 发挥出最佳水平 ，请返回他们 得分的差值 。

 

示例 1：

输入：stones = [5,3,1,4,2]
输出：6
解释：
- 爱丽丝移除 2 ，得分 5 + 3 + 1 + 4 = 13 。游戏情况：爱丽丝 = 13 ，鲍勃 = 0 ，石子 = [5,3,1,4] 。
- 鲍勃移除 5 ，得分 3 + 1 + 4 = 8 。游戏情况：爱丽丝 = 13 ，鲍勃 = 8 ，石子 = [3,1,4] 。
- 爱丽丝移除 3 ，得分 1 + 4 = 5 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 8 ，石子 = [1,4] 。
- 鲍勃移除 1 ，得分 4 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 12 ，石子 = [4] 。
- 爱丽丝移除 4 ，得分 0 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 12 ，石子 = [] 。
得分的差值 18 - 12 = 6 。

示例 2：

输入：stones = [7,90,5,1,100,10,10,2]
输出：122

 

提示：

• n == stones.length
• 2 <= n <= 1000
• 1 <= stones[i] <= 1000

解法

方法一：记忆化搜索

我们先预处理出前缀和数组 $s$，其中 $s[i]$ 表示前 $i$ 个石头的总和。

接下来，设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示当剩下的石子为 $stones[i], stones[i + 1], \dots, stones[j]$ 时，先手与后手的得分差值。那么答案即为 $dfs(0, n - 1)$。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：

• 如果 $i \gt j$，说明当前没有石子，返回 $0$；
• 否则，先手有两种选择，分别是移除 $stones[i]$ 或 $stones[j]$，然后计算得分差值，即 $a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j)$ 和 $b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1)$，我们取两者中的较大值作为 $dfs(i, j)$ 的返回值。

过程中，我们使用记忆化搜索，即使用数组 $f$ 记录函数 $dfs(i, j)$ 的返回值，避免重复计算。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为石子的数量。

class Solution:
  def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int, j: int) -> int:
      if i > j:
        return 0
      a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j)
      b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1)
      return max(a, b)

    s = list(accumulate(stones, initial=0))
    ans = dfs(0, len(stones) - 1)
    dfs.cache_clear()
    return ans

class Solution {
  private int[] s;
  private Integer[][] f;

  public int stoneGameVII(int[] stones) {
    int n = stones.length;
    s = new int[n + 1];
    f = new Integer[n][n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    return dfs(0, n - 1);
  }

  private int dfs(int i, int j) {
    if (i > j) {
      return 0;
    }
    if (f[i][j] != null) {
      return f[i][j];
    }
    int a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
    int b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
    return f[i][j] = Math.max(a, b);
  }
}

class Solution {
public:
  int stoneGameVII(vector<int>& stones) {
    int n = stones.size();
    int f[n][n];
    memset(f, 0, sizeof f);
    int s[n + 1];
    s[0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) {
      if (i > j) {
        return 0;
      }
      if (f[i][j]) {
        return f[i][j];
      }
      int a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
      int b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
      return f[i][j] = max(a, b);
    };
    return dfs(0, n - 1);
  }
};

func stoneGameVII(stones []int) int {
  n := len(stones)
  s := make([]int, n+1)
  f := make([][]int, n)
  for i, x := range stones {
    s[i+1] = s[i] + x
    f[i] = make([]int, n)
  }
  var dfs func(int, int) int
  dfs = func(i, j int) int {
    if i > j {
      return 0
    }
    if f[i][j] != 0 {
      return f[i][j]
    }
    a := s[j+1] - s[i+1] - dfs(i+1, j)
    b := s[j] - s[i] - dfs(i, j-1)
    f[i][j] = max(a, b)
    return f[i][j]
  }
  return dfs(0, n-1)
}

function stoneGameVII(stones: number[]): number {
  const n = stones.length;
  const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    s[i + 1] = s[i] + stones[i];
  }
  const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(0));
  const dfs = (i: number, j: number): number => {
    if (i > j) {
      return 0;
    }
    if (f[i][j]) {
      return f[i][j];
    }
    const a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
    const b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
    return (f[i][j] = Math.max(a, b));
  };
  return dfs(0, n - 1);
}

方法二：动态规划

我们可以将方法一中的记忆化搜索转换为动态规划，定义 $f[i][j]$ 表示当剩下的石子为 $stones[i], stones[i + 1], \dots, stones[j]$ 时，先手与后手的得分差值。那么答案即为 $f[0][n - 1]$。

状态转移方程如下：

$$ f[i][j] = \max(s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j], s[j] - s[i] - f[i][j - 1]) $$

在计算 $f[i][j]$ 时，我们需要保证 $f[i + 1][j]$ 和 $f[i][j - 1]$ 已经被计算出来，因此我们需要按照从大到小的顺序枚举 $i$，从小到大的顺序枚举 $j$。

最后，答案即为 $f[0][n - 1]$。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为石子的数量。

class Solution:
  def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
    s = list(accumulate(stones, initial=0))
    n = len(stones)
    f = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
      for j in range(i + 1, n):
        a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j]
        b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1]
        f[i][j] = max(a, b)
    return f[0][-1]

class Solution {
  public int stoneGameVII(int[] stones) {
    int n = stones.length;
    int[] s = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    int[][] f = new int[n][n];
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j];
        int b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1];
        f[i][j] = Math.max(a, b);
      }
    }
    return f[0][n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int stoneGameVII(vector<int>& stones) {
    int n = stones.size();
    int s[n + 1];
    memset(s, 0, sizeof(s));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    int f[n][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j];
        int b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1];
        f[i][j] = max(a, b);
      }
    }
    return f[0][n - 1];
  }
};

func stoneGameVII(stones []int) int {
  n := len(stones)
  s := make([]int, n+1)
  for i, x := range stones {
    s[i+1] = s[i] + x
  }
  f := make([][]int, n)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
  }
  for i := n - 2; i >= 0; i-- {
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      f[i][j] = max(s[j+1]-s[i+1]-f[i+1][j], s[j]-s[i]-f[i][j-1])
    }
  }
  return f[0][n-1]
}

function stoneGameVII(stones: number[]): number {
  const n = stones.length;
  const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    s[i + 1] = s[i] + stones[i];
  }
  const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(0));
  for (let i = n - 2; ~i; --i) {
    for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
      f[i][j] = Math.max(s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j], s[j] - s[i] - f[i][j - 1]);
    }
  }
  return f[0][n - 1];
}